2015湖北理第十题

乌贼

isee

回复 1# 乌贼


    的确是很变态啊，感觉令$t=1+a,0<a<1$二次式展开，但还是不好讨论。


    换个方向：$n<t^n\leqslant n+1\Rightarrow \sqrt[n]n<t\leqslant \sqrt[n]{n+1}$，然后呢？

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早上补，可破，正如楼下，$n=4$

kuing

即要满足
\begin{gather*}
1\le t<2,\\
2\le t^2<3,\\
3\le t^3<4,\\
\vdots
\end{gather*}
即
\begin{gather*}
1\le t<2,\\
\sqrt2\le t<\sqrt3,\\
\sqrt[3]3\le t<\sqrt[3]4,\\
\vdots
\end{gather*}
易证 $\sqrt[n]n$ 先增后减，最大值为 $\sqrt[3]3$，而 $\sqrt[n]{n+1}$ 递减，所以相当于求 $\sqrt[n]{n+1}>\sqrt[3]3$ 的最大 $n$，即 $(n+1)^3>3^n$ 的最大 $n$，因 $5^3>3^4$ 而 $6^3<3^5$，所以最大 $n$ 为 $4$。
真坑

乌贼

除了这笨方法外，有什么方法！
只考虑$ t>0 $情况：
\[ [t=1]\riff1\leqslant t<2\]
\[ [t^2=2] \riff\sqrt2\leqslant t<\sqrt3\]
\[ [t^3=3] \riff3^\dfrac13\leqslant t<4^\dfrac13\]
\[ [t^4=4] \riff\sqrt2\leqslant t<5^\dfrac14\]
\[ [t^5=5] \riff5^\dfrac15\leqslant t<6^\dfrac15\]
通过计算（可考场上哪有时间）有\[ \sqrt2<6^\dfrac15<3^\dfrac13<5^\dfrac14<4^\dfrac13<\sqrt3 \]
知，当$ n=5 $时，实数$ t $不存在

乌贼

回复 3# kuing
就是这个易证$ \sqrt[n]{n} $先增后减，最大值为$ \sqrt[3]{3} $，而$ \sqrt[n]{n+1} $递减……要命啊{:curse:}

kuing

回复 5# 乌贼

这些应该很熟吧，$(\ln x)/x$ 在 $(0,e)$ 增，$(e,+\infty)$ 减这个你知道吧，于是对于离散的 $\sqrt[n]n$ 来说就只需比较 $n=2$ 和 $n=3$ 时的大小来确定最大值。
至于 $\sqrt[n]{n+1}$ 递减也就是学重要极限时就会知道的，也可以令 $n=1/m$ 变成 $(1+1/m)^m$，这递增你肯定知道吧，所以原式递减。

乌贼

回复 2# isee
我的思路与3楼相似，即发现每一个$n$值都对应一个$t$的取值范围（集合），依题意所有集合的交集不能是空集，即所有集合的最大值不能小于所有集合的最小值或所有集合的最小值不能大于所有集合的最大值。
关键是$kk$的“易证……”不易证啊

爪机专用

回复 4# 乌贼

说说代码，上标就别用dfrac了吧，你不觉得太大了吗

活着＆存在

指数函数的切线为 Y=X，N最多.
N是整数,这个结论还是有问题.

isee

除了这笨方法外，有什么方法！
只考虑$ t>0 $情况：
\[ [t=1]\riff1\leqslant t
乌贼 发表于 2015-6-9 01:23

完全可行的，全部公倍数方，我就是手算出B的，这时候。

乌贼

回复 6# kuing
都不知道啊，中学学极限就没搞懂，高数是混过来的。

isee

今天见到个$$[t^n]=n-2,$$这时$n=5$，且用到的是$$\sqrt[6]{4}=\sqrt[3]2.$$