有内切圆的凹、凸四边形的切线长关系

hejoseph

凸四边形 $ABCD$ 有内切圆 $I$，其半径是 $r$，且与边 $AB$、$BC$、$CD$、$DA$ 的切点分别是 $W$、$X$、$Y$、$Z$，延长 $CB$、$DA$ 相交于点 $B_1$，延长 $BA$、$CD$ 相交于点 $D_1$，若 $BW=BX=x$，$CX=CY=y$，$DY=DZ=z$，求 $B_1X$、$D_1W$。

abababa

$D_1W=\frac{x+y}{\frac{xy}{r^2}-1}$吧，觉得四边形的条件不那么重要，关键是三角形，用了一位网友以前给我讲的结论

hejoseph

不需要那个结论也能求的，只需要一个很简单的三角公式就能推得结果的

hejoseph

类似方法可以解决这个问题：若 $AZ=AW=w$，$BW=BX=x$，$CX=CY=y$，$DY=DZ=z$，求 $r$。

活着＆存在

hejoseph

对1楼的问题当然可以变成三角形问题了，但这是一系列有内切圆的四边形问题里的一个：
1、若 $AZ=AW=w$，$BW=BX=x$，$CX=CY=y$，$DY=DZ=z$，求 $r$。
2、若 $AZ=AW=w$，$BW=BX=x$，$CX=CY=y$，$DY=DZ=z$，$AB$ 平行于 $CD$，则 $w$、$x$、$y$、$z$、$r$ 有什么关系？
3、$AB$ 不平行于 $CD$，$AD$ 不平行于 $BC$，就能出现1楼的凹四边形，求切线长的关系。
4、若给定 $w$、$x$、$y$、$z$，求作这个凸四边形，如果存在凹四边形，求作这个凹四边形。

活着＆存在

后面一个不就是菱形吗？

abababa

线段的关系是$r^2(x+y+z+w)^2=(x+y)(y+z)(z+w)(w+x)-(xz+yw)^2$吧。找到网友以前发的文件了，如下：

hejoseph

后面一个不就是菱形吗？
活着＆存在 发表于 2015-6-19 11:20

是啊，不过要求出数量关系

hejoseph

线段的关系是$r^2(x+y+z+w)^2=(x+y)(y+z)(z+w)(w+x)-(xz+yw)^2$吧。找到网友以前发的文件了，如下：

...
abababa 发表于 2015-6-19 12:01

半径公式不对，你用正方形的内切圆验证下就知道肯定不对了

abababa

回复 10# hejoseph
哦，最后那个括号里应该是减号。网友的结果没错吧。
$r^2(x+y+z+w)^2=(x+y)(y+z)(z+w)(w+x)-(xz-yw)^2$
原来这个就能化简了，$r^2=\frac{xyz+yzw+zwx+wxy}{x+y+z+w}$

hejoseph

回复 11# abababa
那个网友的结论是对的，但是你得到半径公式改成减号仍然不对

abababa

回复 12# hejoseph
如果网友最后结论对的话，11楼改成减号就应该对啊，这次我是用软件算的。

hejoseph

回复 13# abababa
没把你的结果再化简，现在看是正确的了，不过这个题目也不需要用什么特殊结论的，只要用最基本的三角公式即可
设内心是 $I$，按1楼的图，$\angle ZIW=2\alpha$，$\angle WIX=2\beta$，$\angle XIY=2\gamma$，$\angle YIZ=2\delta$，则
\[
\cot\alpha=\frac{r}{w}，\cot\beta=\frac{r}{x}，\cot\gamma=\frac{r}{y}，\cot\delta=\frac{r}{z}，
\]
由 $\alpha+\beta+\gamma+\delta=180^\circ$ 得
\[
\cot(\alpha+\beta)+\cot(\gamma+\delta)=0，
\]
即
\[
\frac{\cot\alpha\cot\beta-1}{\cot\alpha+\cot\beta}+\frac{\cot\gamma\cot\delta-1}{\cot\gamma+\cot\delta}=0，
\]
代入第二行关于 $r$ 的式子，整理，即得
\[
r^2=\frac{wxy+wxz+wyz+xyz}{w+x+y+z}。
\]

hejoseph

之所以选择余切，是因为正切在 $90^\circ$ 时候函数值不存在，余切没有问题

hejoseph

发一下引出1楼问题的来源问题：
凸四边形 $ABCD$ 有内切圆 $I$，半径是 $r$，点 $A$ 关于 $BD$ 的对称点 $A_1$ 在三角形 $BCD$ 内，点 $A$、$C$ 到 $\odot I$ 的切线长分别是 $a$、$c$，直线 $A_1D$ 交 $BC$ 于 $B_1$，直线 $A_1B$ 交 $CD$ 于 $C_1$，凸四边形 $A_1B_1C_1D_1$ 的内切圆半径是 $I_1$，半径是 $r_1$，则 $r_1/r=(c-a)/(c+a)$。
这样的内切圆能无穷不断地做下去，要求出各个半径比，就必须求出1楼的切线长关系了（其实是 $(c-a)/(c+a)$ 对各个凸四边形是相等的，要证实也要求出1楼的切线长关系）。