人教群里看到的数列

战巡

已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足，$a_1=1$ ，且对任意的 $n, m \in \mathbf{N}^*$ ，有 $a_{n+m}=a_n+a_m+n \cdot m$ 成立，记数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n^{(1)}$ ，数列 $\left\{S_n^{(1)}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $\left\{S_n^{(2)}\right\}, \cdots$ ，数列 $\left\{S_n^{(t)}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $\left\{S_n^{(k+1)}\right\}$ ．
（1）求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式及前 $n$ 项和 $S_n^{(1)}$ ；
（2）探究 $S_n^{(k+1)}$ 的结果，并加以证明；

第一问就不管了，显然$a_n=\frac{n(n+1)}{2}$

重点是第二问，看起来很烦人，我估计答案是打算让大家去归纳，但劳资不喜欢，要搞点花样出来
令：
\[f(x)=\frac{(1-x)^{-n}-1}{x}\]
有
\[f(x)=\frac{(1-x)^{-n}-1}{x}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(n+k)!}{(n-1)!}\frac{x^k}{(k+1)!}\]
对后面的求和，令：
\[\frac{(n+k)!}{(n-1)!}\frac{1}{(k+1)!}=b_k\]
有
\[f(x)=\frac{(1-x)^{-n}-1}{x}=\sum_{k=0}^{\infty}b_k x^k\]
显然$a_n=b_1$, 且$S_n^{(1)}=b_2$
于是
\[\sum_{i=1}^nf(x)=\sum_{i=1}^n\frac{(1-x)^{-n}-1}{x}=\frac{(1-x)^{-n}-1-nx}{x^2}=\frac{f(x)-n}{x}=\sum_{k=0}^{\infty}x^k\sum_{i=1}^nb_k\]
而另一方面
\[\frac{f(x)-n}{x}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(n+k)!}{(n-1)!}\frac{x^{k-1}}{(k+1)!}=\sum_{k=0}^{\infty}b_{k+1}x^k\]
逐项对比可知
\[b_{k+1}=\sum_{i=1}^nb_k\]
结合前面又可知
\[S_n^{k+1}=b_{k+2}=\frac{(n+k+2)!}{(n-1)!}\frac{1}{(k+3)!}\]

yuzi

确实好花哨。。。

isee

先mark，后学习