来自人教群的分式递推数列求通项

kuing

由递推式得
\[a_{n+1}-(n+1)+2=\frac{(2n+1)a_n+n+2}{n-2-a_n}-n+1=\frac{n(3a_n-n+4)}{n-2-a_n},\]
故
\[\frac{a_{n+1}-(n+1)+2}n=\frac{3a_n-n+4}{n-2-a_n}=-3-2\cdot \frac{n-1}{a_n-n+2},\]
令
\[b_n=\frac{n-1}{a_n-n+2},\]
则 $b_1=0$ 且
\[\frac1{b_{n+1}}=-3-2b_n,\]
下略。

kuing

后续聊天记录

群管-kuing  17:05:35
你的解答如何？
爱好者—V神(9802*****)  17:06:10
两边+1，构造新数列
感觉不错，就是我是盟的数字
可以说瞎猫撞到死耗子
就想问问有没有什么好的办法，构造新数列
KK的方法挺好
就是学生理解起来还比较困难
群管-kuing  17:08:07
你把你的写来看看啊
爱好者—V神(9802*****)  17:08:32
OK
群管-kuing  17:08:35
+1后怎么变形的，我懒得变了……虽然大概看得出来……
大概是倒数的样子
爱好者—V神(9802*****)  17:09:50
恩
我都喜欢玩导数，其实和特征方程，不动点一个道理
群管-kuing  17:10:22
你是弄成分子一样，我是弄成分母一样……
爱好者—V神(980225785)  17:10:30
就是不知道递归函数是什么？
恩
群管-kuing  17:11:05
看上去你的简单一些
爱好者—V神(9802*****)  17:35:31

不知道有没有算错
其实这种题就两个思路，一个化分母相同
另一个化分子相同
都是构造新数列

其妙

从v神的解法中可以看出命题者的思路：
这是形如$p_{n+1}=f(n)p_n+g(n)$的递推式，已有通法（但有时不如观察法简便，不过常常只有少数人才能观察的出），

然后令$p_n=\dfrac1{a_n+t}$，就得到了本题，

第一章

把题目打一下：
已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}=\frac{(2n+1)a_n+n+2}{n-2-a_n}$ ，求通项公式$a_n$.
解：$a_{n+1}+\lambda=\frac{(2n+1)a_n+n+2}{n-2-a_n}+\lambda$
通分便有$a_{n+1}+\lambda=\frac{(2n+1)a_n+n+2+\lambda n-2\lambda-\lambda a_n}{n-2-a_n}=\frac{(2n+1-\lambda)a_n+(1+\lambda)n+2-2\lambda}{n-2-a_n}$
令$\lambda=\frac{(1+\lambda)n+2-2\lambda}{2n+1-\lambda}$
去分母，得$2\lambda n+\lambda-{\lambda}^2=(1+\lambda)n+2-2\lambda$，比较系数知$\lambda=1$
于是$a_{n+1}+1=\frac{2n(a_n+1)}{n-2-a_n}$ ，取倒数，得
$\frac{1}{a_{n+1}+1}=\frac{n-2-a_n}{2n(a_n+1)}=\frac{n-1}{2n(a_n+1)}-\frac{1}{2n}$
所以$\frac{n}{a_{n+1}+1}=\frac{1}{2}\cdot \frac{n-1}{a_n+1}-\frac{1}{2}$，下从略。

其妙

回复 4# 第一章
属于运气。不过无巧不成题，也是一种规律，所以运气几乎是必然的。
应该可以举一个例子，那个$\lambda$不是常数的例子，而是一个关于$n$的函数。
但是现在手头没合适的资料，有的时候再举出。