三角形的重心、内心连线与一边平行、垂直的充要条件

hejoseph

$\triangle ABC$ 的重心为 $G$，内心为 $I$，则 $GI$ 平行于 $BC$ 的充要条件是 $AB+AC=2BC$，$GI$ 垂直于 $BC$ 的充要条件是 $AB=AC$ 或 $AB+AC=3BC$。

abababa

发一位网友的解答，经过他以前的多次讲解，第一题现在看得懂了。第二题对我来说还是有难度，不懂。

其妙

回复 2# abababa
这个“maven”是平面几何大牛！以前在人教论坛常出现

乌贼

回复 3# 其妙
他的题我都不敢碰

isee

回复 3# 其妙


    射影几何 厉害，或者说非欧几何中，厉害，厉害，厉害，重要的事要说三次。

hejoseph

是用重心坐标，但也不用使用行列式的，例如平行，有向面积相等就行，就相当于
\[
\frac{1}{3}=\frac{a}{a+b+c}
\]
立即就得到那个式子了，垂直的话用向量内积等于 0 就可以了

其妙

当然，何版也很厉害！立体几何更是无人能及！

kuing

刚才人教群里撸了垂直的，搜索发现这里也有，顺便存个代码。

鄂D山羊无角 2021/5/3 7:22:11
三角形ABC的重心为G，内心为I，若a+b=3c，求证：GI垂直于AB.

\begin{align*}
\vv{CG}&=\frac{\vv{CA}+\vv{CB}}3\\
\vv{CI}&=\frac{a\vv{CA}+b\vv{CB}}{a+b+c}\\
\vv{IG}&=\vv{CG}-\vv{CI}=\frac{(b+c-2a)\vv{CA}+(c+a-2b)\vv{CB}}{3(a+b+c)},
\end{align*}\begin{align*}
GI\perp AB&\iff\bigl( (b+c-2a)\vv{CA}+(c+a-2b)\vv{CB} \bigr)\cdot\bigl(\vv{CA}-\vv{CB}\bigr)=0\\
&\iff(b+c-2a)b^2-(c+a-2b)a^2+(3a-3b)\vv{CA}\cdot\vv{CB}=0\\
&\iff(a+b+c)(b^2-a^2)+3ab(a-b)+3(a-b)\frac{a^2+b^2-c^2}2=0\\
&\iff\frac12(a-b)(a+b-3c)(a+b+c)=0.
\end{align*}