一个向量题。。。

yuzi

设 D 是锐角 $\triangle \mathrm{ABC}$ 内部一点，$\angle A D B=\angle A C B+\frac{\pi}{2}$ ，且 $\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{B D}=\overrightarrow{A D} \cdot \overrightarrow{B C}$ ，则 $\frac{\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{C D}}{\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{B D}}$ 的值为（）
A． 1
B．$\sqrt{2}$
C．$\sqrt{3}$
D． 2

abababa

要是不是向量的话，好像是个竞赛题，以前见过

作等腰直角$\triangle BDB'$，由已知得$\angle ADB'=\angle ACB$，加上$\frac{AC}{BC}=\frac{AD}{BD}=\frac{AD}{B'D}$，就有$\triangle ADB'\sim\triangle ACB$
所以$\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{AB'}$，$\angle CAB=\angle DAB'$，所以$\angle CAD=\angle BAB'$，这样$\triangle CAD\sim\triangle BAB'$
所以$\frac{AC}{AB}=\frac{CD}{BB'}=\frac{CD}{\sqrt{2}BD}$，于是$\frac{AB\cdot CD}{AC\cdot BD}=\sqrt{2}$

其妙

回复 2# abababa
IMO试题

yuzi

yuzi

丧心病狂的出题人

其妙

回复 5# yuzi
帖子才12篇呀？

走走看看

回复 1# yuzi

请大家看看楼主的这道题是不是有问题。
\begin{align*}
\vv{AC}\cdot\vv{BD}&=\vv{AD}\cdot\vv{BC}\\

(\vv{AD}+\vv{DC})\cdot\vv{BD}&=\vv{AD}\cdot(\vv{BD}+\vv{DC})\\

\vv{DC}\cdot\vv{BD}&=\vv{AD}\cdot\vv{DC}\\

\vv{DC}\cdot(\vv{BD}-\vv{AD})&=0\\

\vv{DC}\cdot\vv{BA}&=0\\

\frac{\vv{AB}\cdot\vv{CD}}{\vv{AC}\cdot\vv{BD}}&=0

\end{align*}

从以上解答看出，还有一个条件没有用上，选项也没有包括0 。

走走看看

下面这张解答图截取自小猿搜题，没怎么看懂。

第二处红色标记结果应是$\frac{|1-i|}{|i|}=\sqrt{2}$。

第一处红色标记，不知如何推导出来。

请大师们帮我看看。

走走看看

回复 8# 走走看看

终于搞清楚了，回头把演算过程上传一下。

走走看看

回复 9# 走走看看



$\vv{CB}顺时针旋转到旋转到\vv{CA}$。

isee

哈哈哈，终于见到一个把向量和复数一起写的人了，平时我这样写好多人都不(承)认~~~~~

走走看看

回复 11# isee

觉得这里向量形式，只能解释为复数，即式子中的$\vv{DA}\cdot\vv{CB}$，不能解读为“$|\vv{DA}|\cdot|\vv{CB}|\cdot cos<\vv{DA},\vv{CB}>$”。

是这样理解吧？