来自人教群的两二次方程的根都是正整数求$\abs{p-q}$

kuing

陕D教师tan9p(3653*****)  13:09:09
设 $p, q$ 为不相等的正整数，且关于 $x$ 的方程 $x^2-p x+q=0$ 和 $x^2-q x+p=0$ 的根都是正整数，则 $|p-q|=$
这道题除了猜5，6 有没有什么严谨的做法？

解：依题意，由韦达定理可设 $p=a+b$, $q=ab$, $q=c+d$, $p=cd$，其中 $a$, $b$, $c$, $d\inN^+$，如果 $a$, $b$ 都不小于 $2$，则显然有 $q\geqslant p$，同理，如果 $c$, $d$ 都不小于 $2$，也有 $p\geqslant q$，这说明 $a$, $b$, $c$, $d$ 至少有一个小于 $2$，否则就会有 $p=q$，所以至少有一个根为 $1$，若 $a=1$，则 $\abs{p-q}=\abs{1+b-b}=1$，其余的也一样。

其妙

解法二：依题意，由韦达定理可设$ p=a+b $，$ q=ab$，$q=c+d$，$p=cd$，其中 $a , b , c , d∈N_+$，

则$q-p+1=(a-1)(b-1)\geqslant0\Longrightarrow p-q\leqslant1$，

且$p-q+1=(c-1)(d-1)\geqslant0\Longrightarrow p-q\geqslant-1$，

故$\abs{p-q}\leqslant1$，又因为整数$p\ne q$，所以只能$\abs{p-q}=1$.

转化与化归

由韦达：$x_1+x_2=x_3 x_4=p, x_1 x_2=x_3+x_4=q$
两式相减：$\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)+\left(x_3-1\right)\left(x_4-1\right)=2$，
情况 1 $\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)=\left(x_3-1\right)\left(x_4-1\right)=1x_1=x_2=x_3=x_4=2$，此时 $p=q$，舍
情况 2 $\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)=0,\left(x_3-1\right)\left(x_4-1\right)=2$。 $\left\{x_3, x_4\right\}=\{2,3\}$，所以 $p=6, q=5$．
情况 3 $\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)=2,\left(x_3-1\right)\left(x_4-1\right)=0$。 $\left\{x_1, x_2\right\}=\{2,3\}$，所以 $q=6, p=5$．

kuing

都是漂亮的解法，nice!

其妙

2楼只给出了必要性，本来想给充分性的考虑到是选择题就算了，
充分性就是3楼的，当时觉得难得打公式，也就算了