一道怪咖向量最值存在问题

福州小江

如图，在扇形 $O A B$ 中，$\angle A O B=60^{\circ}, C$ 为弧 $A B$ 上且与 $A, B$ 不重合的一个动点， $\overrightarrow{O C}=x \overrightarrow{O A}+y \overrightarrow{O B}$ ，若 $u=x+\lambda y,(\lambda>0)$ 存在最大值，则 $\lambda$ 的取值范围为（）

（A）$\left(\frac{1}{2}, 1\right)$
（B）$(1,3)$
（C）$\left(\frac{1}{2}, 2\right)$
（D）$\left(\frac{1}{3}, 3\right)$

kuing

这题刚才人教群里都聊得差不多了，我来个有点非主流的。



如图所示，设 $C$ 由 $A$ 往 $B$ 作速度大小为 $v$ 的匀速圆周运动，易见 $v_x$ 增大，$v_y$ 减少，因 $\lambda>0$ 故 $\lambda v_y$ 亦减少。
故此，如果 $u=x+\lambda y$ 存在最大值，则在运动过程中存在一刻使 $v_x=\lambda v_y$，而由两边的单调性知这等价于运动刚开始时 $v_x<\lambda v_y$ 且结束时 $v_x>\lambda v_y$。
运动刚开始时如图：

可见应有 $\lambda>1/2$。
结束时类似地可以得到 $\lambda<2$，图形自己画，我懒了，闪了。

kuing

才发现上面字母跟题目的标反了，不过没区别，懒得改了。

睡神

类似让导数和线性规划飞一会也不是很难…

爪机专用

回复 4# 睡神
群里好像都说了这类，虽然我没细看。

睡神

回复 5# 爪机专用
今天一整天没上Q的lu过…

爪机专用

回复 6# 睡神
牛比。
我一天不上Q除非断了网，或者极其郁闷。

睡神

睡了…七点钟要爬起来…

睡神

回复 7# 爪机专用
丫的…我也想上呀…但白天没空上，晚上真的断网了…倒霉…

aishuxue

求人教论坛的连接

kuing

回复 10# aishuxue

我前面说的是人教群，不是人教论坛。

其妙

呵呵，又成了水贴了、

hongxian

受k的启发也写一法
设$\angle COA=\alpha (0<\alpha<\dfrac\pi 3)$
由正弦定有$\begin{cases}\dfrac{x}{\sin\left(\frac\pi 3-\alpha\right)}=\dfrac{1}{\sin\frac\pi 3}\\
\dfrac{y}{\sin\alpha}=\dfrac{1}{\sin\frac{\pi}{3}}
\end{cases}$ $\Longrightarrow\begin{cases}
x=\dfrac{\sin\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)}{\sin\frac{\pi}{3}}\\
y=\dfrac{\sin\alpha}{\sin\frac\pi 3}
\end{cases}$
$\therefore f(\alpha)=x+\lambda y=\dfrac{1}{\sin\frac\pi 3}\left[\sin\left(\frac\pi 3-\alpha\right)+\lambda\sin\alpha\right]$
$\therefore f'(\alpha)=\dfrac{1}{\sin\frac\pi 3}\left[-\cos\left(\frac\pi 3-\alpha\right)+\lambda\cos\alpha\right]$
易知$f'(\alpha)$在$\left(0,\dfrac\pi 3\right)$上单调递减,又$f(\alpha)$有最大值
$\therefore\begin{cases}
f'(0)>0\\
f'\left(\dfrac\pi 3\right)<0
\end{cases}\Longrightarrow\begin{cases}
-\dfrac 1 2+\lambda>0\\
-1+\dfrac 1 2\lambda<0
\end{cases}\Longrightarrow\dfrac 1 2<\lambda<2$

第一章

这个解法，应该好接受了。
$k$的那个，的确非主流……

kuing

回复 14# 第一章

本质差不多
用速度能更形象显示出来，所以不用计算，画图可见。

其妙

回复 15# kuing
物理早就看不懂了，看来kk去考理综的物理的话，压轴题都可以做了！

走走看看

网络上的解答是否正确呢？特别是最后三句话。

mofangge.com/html/qDetail/02/g0/201310/6ee8g002328478.html

游客

根据三点共线先求出X+Y的范围，再注意X、Y的范围，就变成线性规划了。

敬畏数学

回复 17# 走走看看
射线（重要）OB上的B'点应该满足这样的情况，存在最大值。当且仅当，OAB'为锐角三角形即可，得到答案。

敬畏数学

回复 18# 游客
此题x+y∈（1，2/根号3],x,y∈（0，1），这个区域与题意不合（原题为圆弧AB），好像线性规划不行吧？