方法错了吗?

djjtyq

数列$\left \{ x_n \right \}$中，已知$x_1=4$，$x_n=\sqrt{2x_{n-1}+3}(n\geqslant 2)$，求证：$\left | x_n-3 \right |\leqslant \dfrac{2}{3}\left | x_{n-1}-3 \right |$.
证明：当$n\geqslant 2$时，$x_n^{2}=2x_{n-1}+3$，由此，得\[x_n^2-9=2x_{n-1}-6\Longrightarrow(x_n+3)(x_n-3)=2(x_{n-1}-3)，\]容易归纳出$x_n>0$，则$x_n-3$与$x_{n-1}-3$同号，根据$x_1-3=1>0$不断递推，得$x_n-3>0$即$x_n>3$，
所以\[\left | x_n-3 \right |=\dfrac{2\left | x_{n-1}-3 \right |}{x_n+3}<\dfrac{1}{3}\left | x_{n-1}-3 \right |.\]怎么这种思路证不出所要的结论，参考答案的方法是将递推公式代入不等式左边有理化后放缩得出结论.

爪机专用

。。。证出了更强式不是更好吗？答案弱了而已

djjtyq

回复 2# 爪机专用

可是第二问要证的东西要用到这个结论

爪机专用

。。。。。。。。。

其妙

回复 1# djjtyq

你用了$x_n >3$，你如果用$x_n >0$，不是就得到$\left | x_n-3 \right |\leqslant \dfrac{2}{3}\left | x_{n-1}-3 \right |$了吗？

djjtyq

哎，思路又定势了，老是想着变形，却没有联系要证的结果，

test

你现在才定势呢，你都证出了更好的，还管那个弱的干什么，难道你觉得 <1/3 的成立，<=2/3 就不成立吗？

test

回复 5# 其妙

他明明已经走了更好的路径，你还要把他引回来？

djjtyq

回复 7# test


还有个第2小问，要用第一问的结论来证，当时做的时候太纠结答案了，还有就是感觉那个系数取不到等，为什么要这么出，搞到很乱。

test

回复 9# djjtyq

你觉得 <=2/3 的能证第2问，<1/3 的就不能吗？

caijinzhi

李普希兹条件