2015清华自主招生题目

longzaifei

一个正十五边形，任取其中三个顶点构成三角形，可以构成多少个钝角三角形？

realnumber

我先来试试，顶点依次编号为1,2,3,4,...,15.
1,3连接，这条对角线的一侧有一个顶点，编号2，对应的钝角三角形1个(1,3,2)(说明：(1，3，4)不计算在这里，算在下一条,等等.)
1,4连接，............................................2，3，...................2个(1,4,2),(1,4,3)
........
1,8连接，............................................2,3,4,5,6,7,............6个..
（说明：1，9连接没有了，但9,1连接有的）
以上都可以绕中心$\frac{360\du}{15}x,x=1,2,3,\cdots ,14$,产生钝角三角形而不重复
因此总数为$15\times (1+2+3+4+5+6)=315$个.

longzaifei

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