来自人教群的$a+ab+abc+abcd$最大值

kuing

蜀A爱好者轻数(1933******) 2015-8-16 14:10:13

粤A爱好者kuing(249533164) 2015-8-16 14:14:16
字越来越沉，越来越小……
蜀A爱好者轻数(1933******) 2015-8-16 14:14:33

但不是错题
而且字母，一个比一个多
陕F学生caijinzhi(1349******) 2015-8-16 14:18:42
可能和秦九韶算法有关
蜀A爱好者轻数(1933******) 2015-8-16 14:21:10

话说那个是不是自动回复？

记 $f=a+ab+abc+abcd$，不难看出，如果 $a<b$，那么交换 $a$, $b$ 后，后三项不变，第一项变大，所以 $f$ 变大，同理，如果 $b<c$ 或者 $c<d$ 也能通过交换将 $f$ 变大，由此可见，要求 $f$ 的最大值，只需考虑 $a\geqslant b\geqslant c\geqslant d$ 的情形即可，由 $a+b+c+d=3$ 可知此时必有 $c\leqslant 1$，则
\[f\leqslant a+ab(1+c+d)\leqslant a+\frac14a(b+1+c+d)^2=a+\frac14a(4-a)^2,\]
求导易得上式右边最大值为 $4$，又或者直接作差分解有
\[4-\left( a+\frac14a(4-a)^2 \right)=\frac14(4-a)(a-2)^2\geqslant 0,\]
因此 $f\leqslant 4$，当 $a=2$, $b=1$, $c=d=0$ 时 $f=4$，所以 $f$ 的最大值为 $4$。

其妙

牛笔！