三角不等式

成龙之龙

in triangle ABC, prove: $A\sin\frac{A}{2}+B\sin\frac{B}{2}+C\sin\frac{C}{2}\ge\frac{\pi}{2}$.

kuing

切线法就可以了。

下面证明
\[A\sin \frac A2\geqslant \frac{6+\sqrt3\pi}{12}A-\frac{\sqrt3\pi^2}{36}.\]

令
\[f(x)=x\sin \frac x2-\frac{6+\sqrt3\pi}{12}x+\frac{\sqrt3\pi^2}{36},\quad x\in (0,\pi ],\]
求导得
\begin{align*}
f'(x)&=\sin \frac x2+\frac x2\cos \frac x2-\frac{6+\sqrt3\pi}{12},\\
f''(x)&=\cos \frac x2-\frac x4\sin \frac x2=\sin \frac x2\left( \cot \frac x2-\frac x4 \right),
\end{align*}
易知方程 $\cot (x/2)=x/4$ 在 $(0,\pi)$ 内存在唯一的解，记此解为 $x_0$，则当 $x\in (0,x_0)$ 时 $f''(x)>0$，当 $x\in (x_0,\pi)$ 时 $f''(x)<0$，容易验证 $f''(\pi/3)>0$，所以 $\pi/3\in(0,x_0)$，又容易验证 $f'(\pi/3)=0$，由此可得：

（1）当 $x\in (0,x_0]$ 时 $f(x)\geqslant f(\pi/3)=0$，当且仅当 $x=\pi/3$ 时取等；

（2）当 $x\in [x_0,\pi]$ 时 $f(x)\geqslant \min \{f(x_0),f(\pi)\}$，由（1）知 $f(x_0)>0$，而 $f(\pi)=\pi\bigl(9-\sqrt3\pi\bigr)/18>0$，所以此时恒有 $f(x)>0$。

综上所述，当 $x\in(0,\pi)$ 时恒有 $f(x)\geqslant 0$，所以
\[A\sin \frac A2+B\sin \frac B2+C\sin \frac C2\geqslant \frac{6+\sqrt3\pi}{12}(A+B+C)-\frac{\sqrt3\pi^2}{12}=\frac\pi2.\]

kuing

其实由上述证明过程，我们已经可以归结出如下专用于切线法的定理。

定理：设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$c\in[a,b]$ 且 $f(x)$ 在 $[a,c]$ 内下凸，在 $[c,b]$ 内上凸。

（i）若 $p\in(a,c)$ 且 $f(x)$ 在 $x=p$ 处有切线 $g(x)$，且 $f(b)\geqslant g(b)$，则在 $[a,b]$ 上恒有 $f(x)\geqslant g(x)$；

（ii）若 $q\in(c,b)$ 且 $f(x)$ 在 $x=q$ 处有切线 $h(x)$，且 $f(a)\leqslant h(a)$，则在 $[a,b]$ 上恒有 $f(x)\leqslant h(x)$。

证明：只证（i），同理可证（ii）。

设 $F(x)=f(x)-g(x)$，由于 $g(x)$ 是一次函数，则 $F(x)$ 也在 $[a,c]$ 内下凸，在 $[c,b]$ 内上凸，且 $F'(d)=0$，则：

（1）当 $x\in [a,c]$ 时 $F(x)\geqslant F(d)=0$；

（2）当 $x\in [c,b]$ 时 $F(x)\geqslant \min \{F(c),F(b)\}$，由（1）知 $F(c)\geqslant0$，而 $F(b)=f(b)-g(b)\geqslant0$，所以此时恒有 $F(x)\geqslant0$。

综上所述，当 $x\in[a,b]$ 时恒有 $F(x)\geqslant0$，即 $f(x)\geqslant g(x)$。定理获证。

相应地，对于先上凸再下凸的也类似。

定理$'$：设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$c\in[a,b]$ 且 $f(x)$ 在 $[a,c]$ 内上凸，在 $[c,b]$ 内下凸。

（i）若 $p\in(a,c)$ 且 $f(x)$ 在 $x=p$ 处有切线 $g(x)$，且 $f(b)\leqslant g(b)$，则在 $[a,b]$ 上恒有 $f(x)\leqslant g(x)$；

（ii）若 $q\in(c,b)$ 且 $f(x)$ 在 $x=q$ 处有切线 $h(x)$，且 $f(a)\geqslant h(a)$，则在 $[a,b]$ 上恒有 $f(x)\geqslant h(x)$。

成龙之龙

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