解几最值一题请教

hongxian

已知：点$P$在圆$（x-\dfrac{1}{2})^2+(y-\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{1}{2}$上运动，$O(0,0)$,$A(1,3)$,求$\abs{PA}+\abs{PO}$的最大值

色k

请问B在哪？

hongxian

回复 2# 色k

已改，$B$就是$O$

kuing

这类问题一般会遇到四次方程，但这题看来不是乱出的，数据设计过，刚好在 $(1,0)$ 处取最大值，这是因为当 $P$ 为 $(1,0)$ 时刚好 $P$ 处的切线与 $PA$, $PO$ 的夹角相同（驻点的条件）。

kuing

既然知道了结果，那么，根据取等，就可以配凑出如下解法。

\begin{align*}
PA+PO&=\sqrt{(x-1)^2+(y-3)^2}+\sqrt{x^2+y^2} \\
& \leqslant \frac{9+(x-1)^2+(y-3)^2}6+\frac{1+x^2+y^2}2 \\
& =4+\left( x-\frac12 \right)^2+\left( y-\frac12 \right)^2-\frac12-\frac{y^2+(x-1)^2}3 \\
& \leqslant 4,
\end{align*}
当 $x=1$, $y=0$ 时取等。

于是外行人看上去或许就会觉得“哇真神奇！”，忽悠成功……

其妙

回复 5# kuing
哪有你自己这样自拆底台的？耍魔术的乐趣都被你揭穿了

kuing

回复 6# 其妙

这样就逼着要把忽悠做得更加高明[阴险]