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如果 $a$, $b$, $c$ 中有零，不妨设 $a=0$，代入通分可知原不等式化为
\[\frac{bc(bc+1)}{b^2+(b-c)^2+c^2}\geqslant 0,\]
显然成立。
当 $a$, $b$, $c$ 都不为零时，令 $a=tx$, $b=ty$, $c=tz$，其中 $x$, $y$, $z$, $t$ 都为正数且 $x$, $y$, $z$ 不全相等，则原不等式等价于
\[\frac{(x-tyz)^2+(y-tzx)^2+(z-txy)^2}{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}\geqslant \frac12,\]
即
\[t^2\sum y^2z^2-6xyzt+\sum x^2\geqslant \frac12\sum (y-z)^2,\]
由二次函数性质知左边当 $t=3xyz/\sum y^2z^2$ 时取最小值，所以只需证
\[-\frac{9x^2y^2z^2}{\sum y^2z^2}+\sum x^2\geqslant \frac12\sum (y-z)^2,\]
将其SOS
\begin{gather*}
\sum x^2(y^2-z^2)^2\geqslant \frac12\sum y^2z^2\sum (y-z)^2, \\
\sum \left( x^2(y+z)^2-\frac12\sum y^2z^2 \right)(y-z)^2\geqslant 0, \\
2xyz\sum x(y-z)^2+\frac12\sum (x^2y^2-y^2z^2+z^2x^2)(y-z)^2\geqslant 0,
\end{gather*}
注意到 $(y-z)^2=(y-z)(y-x)+(z-x)(z-y)$，所以还可以整理为
\[2xyz\sum x(y-z)^2+\sum y^2z^2(x-y)(x-z)\geqslant 0,\]
这时其实已经显然成立，当然还可以不妨设 $x\geqslant y\geqslant z$，进一步整理为
\[2xyz\sum x(y-z)^2+y^2z^2(x-y)^2
+(y^2z^2-z^2x^2+x^2y^2)(x-y)(y-z)+x^2y^2(y-z)^2\geqslant 0,\]
更显然成立。由于 $x$, $y$, $z$ 不全相等，这里显然取不了等号，因此原不等式的等号成立当且仅当 $a$, $b$, $c$ 中有两个为 $0$ 另一个为正。 |
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其妙
Post time 2015-9-13 21:32
