由人教群一道椭圆题提取出来的结论

kuing

话说刚才人教群里有这么一段

豫A爱好者Nash(2770*****)  21:43:09
@辽B爱好者1bk3 送你一个变式题练手

（注：这里A、F打反了）

后来也发了解析，其中有一点是证明了当外接圆与准线相切时，切点与上顶点的连线垂直于准线，但过程稍麻烦，下面将这个结论提取出来再扯扯。

命题：已知点 $F$, $A$ 分别为椭圆的右焦点和上顶点，$l$ 为右准线，过 $F$, $A$ 作一圆与 $l$ 相切于 $B$，则 $AB\perp l$。


证法一（刚才也在群里发过了）：延长 $AF$ 交 $l$ 于 $P$，如图，由切割线定理有
\[PF\cdot PA=PB^2,\]
所以
\[\frac{PB}{PA}=\sqrt{\frac{PF}{PA}}
=\sqrt{\frac{\frac{a^2}c-c}{\frac{a^2}c}}
=\frac ba=\frac{AO}{AF},\]
由此即得 $AB\perp BP$。

证法二：注意到作圆锥曲线切线的一个方法，即如下引理。

引理：设 $\Gamma$ 为椭圆（双曲线、抛物线也可），$M$ 是 $\Gamma$ 上一点，$F$ 为焦点，$l$ 为相应准线，过 $F$ 作 $MF$ 的垂线与 $l$ 交于 $N$，则 $MN$ 为 $\Gamma$ 的切线。

这个引理我以前玩高考题时也写过，不再证了。

延长 $AF$ 交 $l$ 于 $P$，现在，设过 $F$ 作 $AF$ 的垂线交 $l$ 于 $B'$，由引理知 $B'A$ 为椭圆切线，因 $A$ 为上顶点，于是 $AB'\perp l$，
于是在 $\Rtt AB'P$ 中，$B'F$ 为斜边上的高，由射影定理有 $B'P^2=PF\cdot PA$，由此可见 $B'$ 与 $B$ 重合，命题得证。

chen、bin

存★在！！

1、倒过来算，这个圆（过A和F）的切线长（自P发出）为定值。因为A、F、P三点固定。
2、验证也是一种证明的方法，验证的途径可以有很多；因为“发现”本身很可能就是一种猜测。

isee

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    圆锥曲线切线的一个性质，通常先说切线交准线，后垂直。《圆锥曲线的几何性质》第7页，命题5。