折痕面积

guanmo1

如附件

kuing

你的附件里就一句话，也是纯文字，为什么不直接粘贴上来而要发附件？非要麻烦我们下载再打开，真怪……

边长为1的正方形ABCD,将正方形沿折痕折起，使得D点落在AB线段上，求折痕所在点集形成的面积。

kuing

记以 $D$ 为焦点，$AB$ 所在直线为准线的抛物线为 $\Gamma$，设 $D$ 点延折痕 $l$ 对折后落在 $AB$ 上的 $D'$ 处，下面证明折痕 $l$ 与 $\Gamma$ 相切，且切点与 $D'$ 的连线垂直于 $AB$。



如图，在 $l$ 上任取一点 $M$，作 $MN\perp AB$，则有 $MD=MD'\geqslant MN$，当且仅当 $D'$ 与 $N$ 重合时取等，这说明 $l$ 上的 $M$ 当且仅当 $MD'\perp AB$ 时 $M$ 在 $\Gamma$ 上，其余时候均在 $\Gamma$ 外，所以结论得证。

据此，可画出当 $D'$ 取遍 $AB$ 时 $l$ 在正方形内扫过的区域如图所示。



若以 $AD$ 所在直线为 $y$ 轴，$AD$ 中点为原点建系，则抛物线为 $y=x^2/2$，故此所求面积为
\[\frac18+\int_0^1\frac12x^2\rmd x=\frac7{24}.\]

isee

漂亮，原来k作解了呀。

又是包络线的感觉。。。

kuing

回复 4# isee

是包络线啊，完全也可以用那套方法。