国庆接力

v6mm131

$\alpha >0$求证：存在无穷多个正整数$n$使得[$n^2\alpha $]是偶数

realnumber

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若α为有理数，设小数点后有k位，那么n取足够大时，符合题意.
比如$n=10^t,t>k,t\in Z^+$.
若α为无理数，不会，继续想....

存★在！！

若 $\left[m^2 \alpha\right]$ 是奇数，且 $m^2 \alpha-\left[m^2 \alpha\right] \in\left[0, \frac{1}{4}\right)$ ，则 $\left[4 ~m^2 \alpha\right]$ 是偶数，即 $n=2m$ ；
若 $\left[m^2 \alpha\right]$ 是奇数，且 $m^2 \alpha-\left[m^2 \alpha\right] \in\left[\frac{1}{4}, \frac{5}{16}\right)$ ，则 $\left[16 m^2 \alpha\right]$ 是偶数；若 $\left[m^2 \alpha\right]$ 是奇数，且 $m^2 \alpha-\left[m^2 \alpha\right] \in\left[\frac{5}{16}, \frac{21}{64}\right)$ ，则 $\left[64 ~m^2 \alpha\right]$ 是偶数；而 $\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+\ldots=\frac{1}{2}$ ；
若 $\left[m^2 \alpha\right]$ 是奇数，且 $m^2 \alpha-\left[m^2 \alpha\right] \in\left[\frac{1}{2}, \frac{3}{4}\right)$ ，则 $\left[4 ~m^2 \alpha\right]$ 也是偶数；
$\dots$