来自人教群的三角形$a+c=\sqrt2b$

kuing

辽V教师qzsb(2422****) 18:02:54

帮忙看看此题有没有问题，能否做出来？

题目：$\triangle ABC$ 中 $a+c=\sqrt2b$，求证
\[2\cot \frac B2=\cot A+\cot C.\]
解
\begin{align*}
2\cot \frac B2=\cot A+\cot C&\iff 2\cdot \frac{1+\cos B}{\sin B}=\frac{\cos A}{\sin A}+\frac{\cos C}{\sin C} \\
&\iff \frac2b+\frac{c^2+a^2-b^2}{abc} =\frac{b^2+c^2-a^2}{2abc}+\frac{a^2+b^2-c^2}{2abc} \\
&\iff 2+\frac{c^2+a^2-2b^2}{ac}=0 \\
&\iff (c+a)^2=2b^2.
\end{align*}

kuing

这样写看起来好些：
\begin{align*}
2\cot \frac B2=\cot A+\cot C&\iff 2\cdot \frac{1+\cos B}{\sin B}=\frac{\cos A}{\sin A}+\frac{\cos C}{\sin C} \\
&\iff 2\sin A\sin C(1+\cos B)=\sin^2B\\
&\iff 2ac+a^2+c^2-b^2=b^2\\
&\iff (c+a)^2=2b^2.
\end{align*}