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今天撸书撸到下面这道题目：
已知 $a$, $b$, $c$, $d$ 满足 $a$, $d\geqslant 0$, $b$, $c>0$ 且 $b+c\geqslant a+d$，设
\[F=\frac c{b+a}+\frac b{c+d},\]
求 $F$ 的最小值。
这道题很老了，据说是前苏联的竞赛题，最经典的解法大概就是下面这种均值解法：
为了方便看，码一下：
(by 鱼儿) 因为 $b+c\geqslant a+d$，所以 $b+c\geqslant (a+b+c+d)/2$。
由于将 $a$, $b$, $c$, $d$ 分别用 $d$, $c$, $b$, $a$ 替换后，表达式 $b/(c+d)+c/(a+b)$ 不变，故不妨设 $a+b\geqslant c+d$，于是有 $1/(c+d)\geqslant 1/(a+b)$，从而有
\begin{align*}
\frac{b}{c+d}+\frac{c}{a+b}&= \frac{b+c}{c+d}-\frac{c}{c+d}+\frac{c}{a+b}\\
&\geqslant \frac12\cdot\frac{a+b+c+d}{c+d}-c\left(\frac{1}{c+d}-\frac{1}{a+b}\right)\\
&\geqslant \frac12\cdot\frac{a+b+c+d}{c+d}-(c+d)\left(\frac{1}{c+d}-\frac{1}{a+b}\right)\\
&=\frac12\cdot\frac{a+b}{c+d}+\frac{c+d}{a+b}-\frac12\\
&\geqslant 2\sqrt{\frac12\cdot\frac{a+b}{c+d}\cdot\frac{c+d}{a+b}}-\frac12\\
&=\sqrt2 - \frac12.
\end{align*}
这解法技巧很高，其中奥妙我还没完全参透。
后来我还看到我曾经在 artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=51&t=325138 给出的超级麻烦的解法，用的是函数方法，思路挺容易想，就是计算麻烦。刚才重新审视过程，发现其实有很大的简化空间，最终得出如下过程。
解：如果交换 $b$, $c$，同时又交换 $a$, $d$，则条件及 $F$ 均不变，故此可以不妨设 $b\geqslant c$。
（1）当 $b>3c$ 时，由条件有
\[F\geqslant \frac c{b+a}+\frac b{b+2c-a},\]
而
\[\frac c{b+a}+\frac b{b+2c-a}-\left( \frac cb+\frac b{b+2c} \right)=\frac{a^2(b^2+bc+2c^2)+a(b^3-b^2c-4bc^2-4c^3)}{b(a+b)(b+2c)(b+2c-a)},\]
由 $b>3c$ 得
\[b^3-b^2c-4bc^2-4c^3>2b^2c-4bc^2-4c^3>2bc^2-4c^3>2c^3>0,\]
所以
\[F\geqslant \frac cb+\frac b{b+2c}=\frac{b+2c}{2b}+\frac b{b+2c}-\frac12\geqslant \sqrt2-\frac12;\]
（2）当 $c\leqslant b\leqslant 3c$ 时，有
\[F\geqslant \frac{\bigl(\sqrt c+\sqrt b\bigr)^2}{a+b+c+d}\geqslant \frac{b+c+2\sqrt{bc}}{2(b+c)}=\frac12+\frac1{\sqrt{\frac bc}+\sqrt{\frac cb}}\geqslant \frac12+\frac1{\sqrt3+\frac1{\sqrt3}}=\frac12+\frac{\sqrt3}4.\]
容易验证
\[\frac12+\frac{\sqrt3}4>\sqrt2-\frac12,\]
故综合（1）（2），恒有
\[F\geqslant \sqrt2-\frac12,\]
当 $a=0$, $d=b+c$, $b/c=2+2\sqrt2$ 时取等，故 $F$ 最小值就是 $\sqrt2-1/2$。
或许你会发现这个过程跟 mathlinks 链接里的完全不一样，但这确实是由链接里的过程“优化”出来的。 |
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