条件最值问题

敬畏数学

正实数a,b,c满足a^2+b^2+4c^2=1,则ab+2ac+3倍根号2*bc的最大值————

色k

$=a(b+2c)+\frac{3\sqrt2}4\cdot 2\cdot b\cdot 2c
\le a\sqrt{2(b^2+4c^2)}+\frac{3\sqrt2}4(b^2+4c^2)
=a\sqrt{2-2a^2}+\frac{3\sqrt2}4(1-a^2)$
下略

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回复 2# 色k
下面怎么整啊？

色k

显然三角换元就好了啊

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期待有别的方法，以前有高手用过，很神奇的拼凑。

kuing

后面用均值更简单
\begin{align*}
\cdots & =\sqrt2\left( \sqrt{a^2(1-a^2)}+\frac34(1-a^2) \right) \\
& \leqslant \sqrt2\left( a^2+\frac{1-a^2}4+\frac34(1-a^2) \right) \\
& =\sqrt2.
\end{align*}

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回复 6# kuing
OK!以前看过用待定系数法，一次性就搞定的。类似均值不等式拼凑。

kuing

回复 7# 敬畏数学

那也是常规方法，既然你知道，我就不写了

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回复 8# kuing
刚才待定系数拼凑下，a^2+b^2+4c^2=(a^2/2+1/4*b^2)+(3/4*b^2+3c^2)+(c^2+a^2/2)>=1/根号2（ab+2ac+3倍根号2*bc）.

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回复 2# 色k
这也是一个好方法。谢谢。