来自人教群的已知两高求第三高范围

kuing

粤A教师老杨(5425*****)  19:53:50
已知三角形ABC的两条高线的长分别为5和20.如果第三条高线的长度也是整数，求第三条高线长度的最大值
鄂L教师yuzi(5755*****)  20:24:13
6
粤A爱好者kuing(249533164)  20:40:02

范围都粗来了

鄂L教师yuzi(5755*****)  20:42:18
是不是这个。

粤A爱好者kuing(249533164)  20:42:56
正确

鄂L教师yuzi(5755*****)  20:43:29
看来对了
不知道渣k怎么弄出这个的

鄂L教师yuzi(5755*****)  20:44:46


粤A爱好者kuing(249533164)  20:45:40

记录代码：
$b\sin C=h_a=5$, $a\sin C=h_b=20$
\[h_c=\frac{2S}c=\frac{ab\sin C}{\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos C}}=\frac{5\times 20}{\sqrt{5^2+20^2-2\times 5\times 20\cos C}}=\frac{20}{\sqrt{17-8\cos C}},\]

kuing

还可以这样推，将 $c=2S/h_c$ 等代入 $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$ 得
\[\frac1{h_c^2}=\frac1{h_a^2}+\frac1{h_b^2}-\frac2{h_ah_b}\cos C,\]
倒过来即得
\[h_c^2=\frac{h_a^2h_b^2}{h_a^2+h_b^2-2h_ah_b\cos C}.\]
看起来更好看些。