圆上一点作另一圆的两条切线，被y轴截的线段长度

郝酒

已知圆C：$(x+1)^2+y^2=1$，圆D：$(x-4)^2+y^2=4$；
由圆D上的动点向圆C作两条切线分别交y轴于A、B两点，求|AB|的取值范围.

有没有什么几何的方法？

敬畏数学

kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=3450&highlight=
此题以前征求过。

abababa

发一位网友的解法，觉得挺简单的。
设切线是$CT$，令$C=(4+2\cos\theta,2\sin\theta)$
由切线长知$CT^2=(4+2\cos\theta)^2+(2\sin\theta)^2+2(4+2\cos\theta)=4(5\cos\theta+7)$
由切点和小圆圆心和$C$构成的面积$S=2\cdot\frac{1\cdot CT}{2}$
但$S=\frac{AB\cdot C_x}{2}+2\cdot\frac{AB\cdot 1}{2}=AB\cdot\frac{C_x+2}{2}$
于是$AB=\frac{2CT}{C_x+2}=\frac{2\sqrt{\abs{4(5\cos\theta+7)}}}{\abs{4+2\cos\theta}+2}$
显然绝对值里都是正数，$AB=\frac{2\sqrt{5\cos\theta+7}}{\cos\theta+3}$
令$\cos\theta+1=t,0\le t\le 2$，$AB=\frac{2\sqrt{5t+2}}{t+2}$
连续有界，考察端点及导函数为零的点，端点处$AB=\sqrt{2},\sqrt{3}$
导数为零的点忽略分子系数$2$及求导后的分母，$\frac{5}{2}(t+2)(5t+2)^{-\frac{1}{2}}-(5t+2)^{\frac{1}{2}}$，解出$t=\frac{6}{5}$代入得$AB=\frac{5\sqrt{2}}{4}$

郝酒

回复 3# abababa

谢谢，的确简单了，三角换元并不必须。

abababa

原来以为最值可能是在大圆和$x=4$的交点处取得，但事实证明不是，只是最小值在大圆和$x$轴的交点处取得，最大值要在$\cos\theta=1/5$取得，是在$x=4$右边的位置，这个位置用纯几何法恐怕不好定位，没看到有什么特殊性。

敬畏数学

纯几何法原以为应该可以，看来困难。高手可以继续。。。。。