2015浙江理8

guanmo1

（2015浙江）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′-CD-B的平面角为α，则（　　）
A．∠A′DB≤α B．∠A′DB≥α C．∠A′CB≤α D．∠A′CB≥α

kuing

设 $\angle A'DC=\theta$，则 $\angle BDC=\pi -\theta$，由三面角第一余弦定理（希望没记错）有
\begin{align*}
\cos \angle A'DB&=\cos \angle A'DC\cos \angle BDC+\cos \alpha \sin \angle A'DC\sin \angle BDC \\
& =-\cos^2\theta +\cos \alpha \sin^2\theta  \\
& =-1+(1+\cos \alpha )\sin^2\theta  \\
& \leqslant -1+(1+\cos \alpha ) \\
& =\cos \alpha,
\end{align*}
由此即得 $\angle A'DB\geqslant \alpha$，当且仅当 $\theta=90\du$ 时取等，所以 B 正确，A 错。

至于 C、D，当点 $C$ 很远时 $\angle A'CB<\alpha$，当 $\theta\ne90\du$ 且点 $C$ 接近点 $D$ 时 $\angle A'CB>\alpha$，所以 C、D 均错。

guanmo1

回复 2# kuing

有比较简单的给大多数学生讲的解法吗？用余弦定理硬算倒是行得通，但太麻烦了。

kuing

回复 3# guanmo1

跟学生讲？那就两个字“目测”得了

郝酒

只看A、B选项的话，可以这样做
做AH垂直CD于H，AD=A'D，AH=A'H,AD≥AH
角ADA'≤角AHA'，考虑补角，得
角A‘DB≥α