积分与偏导数

hjnk900

令 $g:\mathbb R^{2} \to \mathbb R^{2}, g(x)=(g_1(x),g_2(x))$ 连续可导.
令 $$f(x,y)=\int_0^xg_1(t,0)dt+\int_0^yg_2(x,s)ds$$
（1）证明 $D_2f(x,y)=g_2(x,y)$
（2）假设 $D_1g_2=D_2g_1$, 证明 $D_1f(x,y)=g_1(x,y)$

战巡

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偏微分是\partial, 尼玛一个$D$看的劳资半天没反应过来

第一问显然
\[\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=0+g_2(x,y)=g_2(x,y)\]

因为
\[\frac{\partial}{\partial x}g_2(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}g_1(x,y)\]
有
\[\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=g_1(x,0)+\int_0^y\frac{\partial}{\partial x}g_2(x,s)ds\]
\[=g_1(x,0)+\int_0^y\frac{\partial}{\partial s}g_1(x,s)ds\]
\[=g_1(x,0)+g_1(x,y)-g_1(x,0)=g_1(x,y)\]

hjnk900

回复 2# 战巡

多谢战巡大哥！

hbghlyj

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题目$g:\mathbb R^{2} \to \mathbb R^{2}$好像有错, 应该是$g:\mathbb R \to \mathbb R^{2}$