来自人教群的三角形内点作三平行线段相等

色k

浙B爱好者狗带(3705*****) 2015-11-24 16:31:39

有什么好方法
对称一些的方法

粤A爱好者色k(439604266)  16:51:51
设 $AM$, $BM$, $CM$ 的延长线交三边于 $A'$, $B'$, $C'$，设 $AM/AA'=p$, $BM/BB'=q$, $CM/CC'=r$，则 $4p=3q=2r=x$，
又 $MA'/AA'+MB'/BB'+MC'/CC'=1$，得 $p+q+r=2$，所以 $x/4+x/3+x/2=2$，解得 $x=24/13$。
@浙B爱好者狗带
素不素酱紫

浙B爱好者狗带(3705*****)  16:53:58
这个解法好
答案给的方法不太对称

isee

回复 1# 色k

    方法很赞。

    应该是初三的题，或者是高三的，那个恒等于1的式子，对学生（特别是平几一般的），根本整不出来，

isee

提问者，肯定是会解此题了，试着还原笨方法如下：




共M顶点的三个小三角形相似，(下式中的2/4是利用等比而来），可得：

\[\frac {2-x}{a_1}=\frac {c_2}{a_2}=\frac {c_1}{4-x}=\frac 24\]

只抓一条长为$x$的线段$x=DE=a_1+a_2$，（其它亦可，对称的，无所谓哪条），明确方向之后，可比例式得：

\[\frac {2(2-x)}{a_1}=1 \tag{1}\label{01}\]


另一方向上，同样的，\[\frac {3-x}{a_2}=\frac {b_1}{a_1}=\frac {b_2}{4-x}=\frac 34\]

得到：\[\frac {4(3-x)}{3a_2}=1 \tag{2}\label{02}\]



由\eqref{01},\eqref{02}，得

\[1=\frac {2(2-x)}{a_1}=\frac {4(3-x)}{3a_2}\Rightarrow \frac {3(4-2x)}{3a_1}=\frac {12-4x}{3a_2}=\frac {24-10x}{3x}=1\]

得到\[x=\frac {24}{13}\]

isee

提问者，肯定是会解此题了，试着还原笨方法如下：


共M顶点的三个小三角形相似，(下式中的2/4是利用等比 ...
isee 发表于 2015-11-26 14:59

看了下结果，麻烦了，其实直接用$\triangle FDM \sim \triangle ABC,\triangle QME \sim \triangle ABC$，即可，不必用等比。