来自某教师群的三角形中$a+b\geqslant\sqrt{c^2+4h^2}$

色k

广州王老师(5234*****) 0:06:34

12题选什么？

珠海小李NO.700(9833*****) 0:25:36

睡前来一题，帮助好休息

这证法真不错，值得记录一下。

色k

如果是我的话，显然会考虑调整法，这是因为当 $c$, $a+b$ 都固定时，$C$ 点在椭圆上，于是显然当 $a=b$ 时 $h$ 取最大值，此时 $h^2=a^2-(c/2)^2$，即 $(a+b)^2=c^2+4h^2$，所以必然有 $a+b\geqslant\sqrt{c^2+4h^2}$。

色k

也可以用海伦公式和均值
\[
(a+b)^2-c^2=(a+b+c)(a+b-c)
=\frac{16S^2}{(a-b+c)(-a+b+c)}
\geqslant\frac{16S^2}{c^2}
=4h^2,
\]
这个也挺简洁，不比1#证法差多少

色k

调整法还可以固定 $c$ 和 $h$，也易知当 $h$ 在中间时 $a+b$ 最小，于是……

而从中我们还可以构造一种几何法，如图：

直接得出 $(a+b)^2\geqslant c^2+(2h)^2$。

色k

中山温老师(2865*****)  15:10:22


广州kuing(249533164)  15:16:36
@中山温老师 设 AC=x 有一点不好，就是如果 D 在外面，第二个根号里要改成 c+x ，当然，如果是设成有向线段那就没问题
中山温老师(2865*****)  15:18:37
x 可以取负数  说明一下