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kuing
Posted 2015-12-20 17:59
问题1：
待定系数 $t$，由柯西有
\[
\sum \frac1{4+b^2-c}=\sum \frac{(a+tc)^2}{(a+tc)^2(4+b^2-c)}
\geqslant \frac{\left( \sum (a+tc) \right)^2}{\sum (a+tc)^2(4+b^2-c)}
=\frac{(1+t)^2(a+b+c)^2}{\sum (a+tc)^2(4+b^2-c)},
\]
故只需证
\[4(1+t)^2(a+b+c)^2\geqslant 3\sum (a+tc)^2(4+b^2-c),\]
齐次化即
\[4(1+t)^2(a+b+c)^4\geqslant 3\sum (a+tc)^2\bigl(4(a+b+c)^2+9b^2-3c(a+b+c)\bigr),\]
展开为
\[F=P\sum a^4+Q\sum a^3b+R\sum ab^3+S\sum a^2b^2+T\sum a^2bc\geqslant 0,\]
其中
\begin{align*}
P & =t^2+8t-8, \\
Q & =t^2+26t-8, \\
R & =t^2+8t+1, \\
S & =-27t^2+18t-18, \\
T & =24t^2-60t+33.
\end{align*}
引理：设 $a$, $b$, $c\geqslant 0$，则有
\[\sum a^4-\sum a^2b^2\geqslant 2\left| \sum a^3b-\sum ab^3 \right|.\]
引理的证明楼下再写，先直接拿来用。
由引理我们有
\begin{align*}
Q\sum a^3b+R\sum ab^3&=\frac{Q+R}2\left( \sum a^3b+\sum ab^3 \right)+\frac{Q-R}2\left( \sum a^3b-\sum ab^3 \right) \\
&\geqslant \frac{Q+R}2\left( \sum a^3b+\sum ab^3 \right)-\left| \frac{Q-R}2\left( \sum a^3b-\sum ab^3 \right) \right| \\
&\geqslant \frac{Q+R}2\left( \sum a^3b+\sum ab^3 \right)-\frac{\abs{Q-R}}4\left( \sum a^4-\sum a^2b^2 \right),
\end{align*}
则
\[F\geqslant \left( P-\frac{\abs{Q-R}}4 \right)\sum a^4+(Q+R)\frac{\sum a^3b+\sum ab^3}2+\left( S+\frac{\abs{Q-R}}4 \right)\sum a^2b^2+T\sum a^2bc,\]
现在，我们取 $t=3/2$，代入上式中，即得
\[F\geqslant \frac74\sum a^4+\frac{97}2\cdot\frac{\sum a^3b+\sum ab^3}2-\frac{189}4\sum a^2b^2-3\sum a^2bc\geqslant 0,\]
所以原不等式得证。
有点儿的暴力。 |
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郝酒
Posted 2015-12-21 22:51
