一道n元最值问题

郝酒

已知$x_i\in[0,1]$,$x_1x_2\cdots x_n==(1-x_1)^2(1-x_2)^2\cdots(1-x_n)^2$,
求$x_1x_2\cdots x_n$的最大值。
我这样做：
猜想$x_i=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$时取最大。
构造函数 $g(x)=x^{\sqrt{5}-1}(1-x)^2$，想办法说明其在$[0,1]$的最大值点为$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$。
这时$(x_1\cdots x_n)^{\sqrt{5}}=g(x_1)\cdots g(x_n)\leq \left(g(\frac{3-\sqrt{5}}{2})\right)^{n}$,$x_1=x_2=\cdots=x_n=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$刚好满足约束。
感觉异常丑陋，有没有简明一点的写法？

realnumber

条件变形为
\[1=(\frac{1}{\sqrt{x_1}}-\sqrt{x_1})^2......\]
\[\sqrt{x_i}=t_i,i=1,2,3,...,n\]
那么问题为：
\[已知:1=(\frac{1}{t_1}-t_1)(\frac{1}{t_2}-t_2)\cdots (\frac{1}{t_n}-t_n)\]
求$t_1t_2\cdots t_n$的最值.
用调整法，只需要处理以下情况，就证明了一般情景.
已知$x,y\in (0,1),(\frac{1}{x}-x)(\frac{1}{y}-y)=m,(m为正常数)$,
则当x=y时，xy有最大值.
由$(\frac{1}{x}-x)(\frac{1}{y}-y)=m$得到$\frac{1}{xy}+xy\ge m+2$(仅在x=y取等，且此时解不等式得xy最大值，符合条件.)

kuing

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也可以继续令 $1/t_i-t_i=y_i$ 解得
\[t_i=\frac{-y_i+\sqrt{4+y_i^2}}2=\frac2{y_i+\sqrt{4+y_i^2}},\]
于是变成在 $y_i>0$, $y_1y_2\cdots y_n=1$ 下求 $\prod(y_i+\sqrt{4+y_i^2})$ 的最小值，之后随便弄，略。

血狼王

回复 1# 郝酒


这题可以进一步推广吧