不定方程

血狼王

证明：不定方程
$$a+b+c=(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2$$
有正整数解。

血狼王

刚才编了个程，发现
$$a=975,b=972,c=969$$
（当然，全排列一次都行）
貌似是最小正整数解。
C++源码如下：
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
int main()
{
        int a,b,c;
    int n;
        cout<<"n=";
        cin>>n;
        for(a=1;a<=n;a++)
    {
                for(b=1;b<=a;b++)
                {
                        for(c=1;c<=b;c++)
                        {
                                double m=sqrt(a+b+c);
                                long long l=abs(a-b)*abs(b-c)*abs(c-a);
                            if(fmod(m,l)==0)
                            {
                                        cout<<"a="<<a<<'\t'
                                                <<"b="<<b<<'\t'
                                                <<"c="<<c<<'\t'
                                                <<"ratio="<<m/l<<endl;
                                }
                        }
                }
        }
    system("pause");
    return 0;
}

游客

游客

X，Y 都能被3整除。

血狼王

回复 4# 游客


你说的一点不错。
你究竟是？

kuing

跟 kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=3593 真像。

血狼王

回复 6# kuing


我受到启发了。
事实上，$$a+b+c=(a-b)^n(b-c)^n(c-a)^n(n \in \mathbb N)$$
都存在正整数解。

tommywong

要那些条件是想求所有解啊，有解就算了

$a+b+c=(a-b)^n(b-c)^n(c-a)^n$
设$a=b-d,c=b+d$
$3b=(-d)^n(-d)^n(2d)^n=2^nd^{3n}$
$d=3k,b=2^n3^{3n-1}k^{3n}$都是解

血狼王

回复 8# tommywong


厉害