关于一型不等式的变式讨论

血狼王

若$a,b,c$为非负实数，$a+b+c=1$，求证：
$$\sqrt{a^3+9b}+\sqrt{b^3+9c}+\sqrt{c^3+9a}\geq 4.$$

这是原型，大家若有兴趣，变形的、加强的都可以发。
有证明的，也可以发过来。

Crazy_LittleBoy

$0\leq a,b,c$ and $a+b+c=1$ prove that:

$
1+2\,\sqrt {2}\leq \sqrt {{a}^{3}+8\,c}+\sqrt {{b}^{3}+8\,a}+\sqrt {{c
}^{3}+8\,b}
$

参见：Old inequality artofproblemsolving.com/community/u248534h1170205p5615672

血狼王

若$a,b,c$为非负实数且$a+b+c=1$，求证：
当$0\leq k\leq \frac{8}{9}$时，
$$\sqrt{a^3+kb}+\sqrt{b^3+kc}+\sqrt{c^3+ka}\geq \frac{\sqrt{9k+1}}{3};$$
当$k\geq \frac{7+\sqrt{13}}{2}$时，
$$\sqrt{a^3+kb}+\sqrt{b^3+kc}+\sqrt{c^3+ka}\geq \sqrt{k}+1.$$

血狼王

回复 2# Crazy_LittleBoy


3楼的很难证明，你试试看

Crazy_LittleBoy

回复 4# 血狼王


    我证明了一下$k=8/9$和$k=7/2+1/2\,\sqrt {13}$的情况，其它情况应该容易处理。