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【司令】广州二中邓Sir.(9022***) 15:39:38
\[f(x)=\frac1{e^x-1}-\frac1x+1,\quad x>0.\]
求导得
\begin{align*}
f'(x)&=\frac{-e^x}{(e^x-1)^2}+\frac1{x^2}\\
&=\left( \frac1x-\frac{\sqrt{e^x}}{e^x-1} \right)\left( \frac1x+\frac{\sqrt{e^x}}{e^x-1} \right)\\
&=\left( \frac1x-\frac1{\sqrt{e^x}-\sqrt{e^{-x}}} \right)\left( \frac1x+\frac{\sqrt{e^x}}{e^x-1} \right),
\end{align*}
当 $x>0$ 时求导易证
\[x<\sqrt{e^x}-\sqrt{e^{-x}},\]
（这实际上等价于 $x/2<\sinh(x/2)$ 显然成立），所以 $f'(x)>0$，显然 $\lim_{x\to +\infty }f(x)=1$，又由泰勒展开有
\[\frac1{e^x-1}-\frac1x=\frac1{x+\frac{x^2}2+o(x^2)}-\frac1x
=\frac{-\frac12-\frac{o(x^2)}{x^2}}{1+\frac x2+\frac{o(x^2)}x},\]
可得
\[\lim_{x\to 0}\frac1{e^x-1}-\frac1x=-\frac12\riff \lim_{x\to 0^+}f(x)=-\frac12+1=\frac12,\]
综上知 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上的值域为 $(1/2,1)$。
另外，易证 $f(x)+f(-x)=1$，所以如果考虑 $\mbb R$ 上的值域的话，结果为 $(0,1/2)\cup(1/2,1)$。
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