不等式江湖秘传集（1）

血狼王

若$x,y,z$均为非负实数，且$x+y+z=1$，求证：
$$\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+x^2}\geq 2-2(2-\sqrt{2})(\frac{xy}{x+y}+\frac{yz}{y+z}+\frac{zx}{z+x})。$$

血狼王

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Tips:
$$\sqrt{x^2+y^2}\geq x+y-\frac{2(2-\sqrt{2})xy}{x+y}.$$

血狼王

若$a,b,c$均为非负实数且两两不等，求证：
$$\frac{a^2}{\abs{a-b}\cdot\abs{b-c}}+\frac{b^2}{\abs{b-c}\cdot\abs{c-a}}+\frac{c^2}{\abs{c-a}\cdot\abs{a-b}}\geq \frac{\sqrt{13+16\sqrt{2}}-1}{2}.$$

血狼王

若$a,b,c$均为非负实数且至多一个为0，求证：
$$\frac{41905c^2+746496ab}{\sqrt{a^2+ab+b^2}}+\frac{41905a^2+746496bc}{\sqrt{b^2+bc+c^2}}+\frac{41905b^2+746496ca}{\sqrt{c^2+ca+a^2}}\geq 250206(a+b+c).$$

血狼王

若$a,b,c$为实数，则：
$$16(a^4+b^4+c^4)-20[a^3(b+c)+b^3(c+a)+c^3(a+b)]+9(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+15(a^2bc+b^2ca+c^2ab)\geq 0.$$

血狼王

在非钝三角形$ABC$中，求证：
$$\cos^3{A}\cos{B}+\cos^3{B}\cos{C}+\cos^3{C}\cos{A}\leq \frac{3\sqrt{3}}{16}.$$

血狼王

若$x,y,z$为非负实数，且$x^4+y^4+z^4+24(xyz)^4=1.$
求证：
$$x^3+y^3+z^3\geq 1.$$