代数请教： 去根号？

dodonaomik

IMC小题，好像是新加坡主办的国际数学竞赛活动，趋向大众化、趣味性，旨在倡导全民数学。
望聪明脑袋的你也来参与。先谢过啦！$$M=
\sqrt{
2012\times\sqrt{
2013\times\sqrt{
2014\times\sqrt{
\cdots\sqrt{\left(2012^{2}-3\right) \times \sqrt{\left(2012^{2}-2\right) \times \sqrt{\left(2012^{2}-1\right)}}}
}
}
}
}\text{ ?}
$$

kuing

一方面，显然 $(2012^2-2)\sqrt{2012^2-1}>2012^2$，于是有
\begin{gather*}
\sqrt{(2012^2-2)\sqrt{2012^2-1}}>2012, \\
\sqrt{(2012^2-3)\sqrt{(2012^2-2)\sqrt{2012^2-1}}}
>\sqrt{(2012^2-3)\cdot 2012}>2012, \\
\sqrt{(2012^2-4)\sqrt{(2012^2-3)\sqrt{(2012^2-2)\sqrt{2012^2-1}}}}
>\sqrt{(2012^2-4)\cdot 2012}>2012, \\
\cdots \\
M>\sqrt{2012\cdot 2012}=2012;
\end{gather*}

另一方面，有
\begin{gather*}
\sqrt{2012^2-1}<2012^2, \\
\sqrt{(2012^2-2)\sqrt{2012^2-1}}
<\sqrt{(2012^2-2)\cdot 2012^2}<2012^2-1, \\
\sqrt{(2012^2-3)\sqrt{(2012^2-2)\sqrt{2012^2-1}}}
<\sqrt{(2012^2-3)(2012^2-1)}<2012^2-2, \\
\sqrt{(2012^2-4)\sqrt{(2012^2-3)\sqrt{(2012^2-2)\sqrt{2012^2-1}}}}
<\sqrt{(2012^2-4)(2012^2-2)}<2012^2-3, \\
\cdots \\
M<\sqrt{2012\cdot 2014}<2013.
\end{gather*}

综上所述，$M$ 的整数部分为 $2012$。

hbghlyj

math.stackexchange.com/questions/1544208

The following problem is almost the same, except that it ends with 2012² :

Taiwan International
Mathematics Competition 2012
(TAIMC 2012)

2012-IWYMIC-Individual.x17381.pdf
Section B.

1. What is the integral part of $M$, if
$$M=
\sqrt{
2012\times\sqrt{
2013\times\sqrt{
2014\times\sqrt{
\cdots\sqrt{\left(2012^{2}-3\right) \times \sqrt{\left(2012^{2}-2\right) \times \sqrt{\left(2012^{2}-1\right) \times \sqrt{2012^{2}}}}}
}
}
}
}\text{ ?}
$$