来自人教群前几天的椭圆定点比例相等

kuing

粤A学生呆呆(1120******) 21:59:01


阅A爱好者渣k(249533164) 22:03:58

阅A爱好者渣k(249533164) 22:06:46
先证明上面那交点是定点，于是它就是所求
可以拉伸成圆来证，懒得写了，这些扯得太多……

闲来无事，还是写个具体过程吧，不过总感觉以前也扯过的。



如上图，作 $AB$ 关于 $y$ 轴对称的 $A'B'$，设直线 $A'B$, $AB'$ 交于 $Q$，
显然 $Q$ 必在 $y$ 轴正半轴上，故 $QP$ 为 $\triangle QAB$ 的角平分线，由角平线定理有
\[\frac{QA}{QB}=\frac{PA}{PB},\]
故此我们只需证明此 $Q$ 为定点即可。



沿 $x$ 轴方向作“伸缩变换”将椭圆压缩成圆，再连成如上图所示，
由 $\angle APB'=2\angle ABB'=\angle AOB'$ 可知 $A$, $P$, $O$, $B'$ 四点共圆，
所以 $\angle OPB'=\angle OAB'=\angle OB'Q$，于是 $\triangle OPB' \sim \triangle OB'Q$，从而 $OP\cdot OQ=B'O^2$，即
\[OQ=\frac{r^2}{OP},\]
所以 $Q$ 为定点，故此变换之前的 $Q$ 也是定点，即得证。