来自某教师群的简单不等式

kuing

惠州春哥(2515*****) 17:37:51

广州kuing(249533164) 18:26:11


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1. \begin{proof}
2. 由 $xyz=1$ 可令 $x=a/b$, $y=b/c$, $z=c/a$, $a$, $b$, $c>0$，
3. 代入条件的三个不等式中分别化为 $a+c>b$, $b+a>c$, $c+b>a$，
4. 可见 $a$, $b$, $c$ 构成三角形三边，而待证的不等式化为
5. \[
6. 2\left(\frac ab+\frac bc+\frac ca\right)\geqslant \frac ba+\frac cb+\frac ac+3,
7. \]
8. 事实上
9. \[
10. \LHS-\RHS=\frac{(a-b)^2(c+a-b)+(b-c)^2(a+b-c)+(c-a)^2(b+c-a)}{2abc},
11. \]
12. 故原不等式成立。
13. \end{proof}

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