（不能确定条件是哪个的）线性规划问题

isee

口头听到的题，条件可能不完全正确，但所问原题的答案肯定是$\frac {17}5$.

（死马当活马医吧，其实，只是想表达题目条件可能是不正确的）
若$\left\{\begin{aligned}\sin\theta+2\cos\theta\leqslant 2,\\ \sin \theta -3\cos\theta \leqslant 1.\end{aligned}\right.$，则$f(\theta)=2\sin\theta+3\cos \theta$的最大值为_________.

isee

就我个人而言，肯定第一闪现的是线性规划啦，但不想画图，略想了下，可能是$(x^2+y^2=1,y=\frac 23x)$的交点，会有根号，因先说了答案，就被我pass了。

于是，由线性组合，令\[\left\{\begin{aligned}m+n=2,\\2m-3n=3.\end{aligned}\right.\Rightarrow \left\{\begin{aligned}m=\frac 95,\\n=\frac 15.\end{aligned}\right.\]

于是\[f(\theta)\leqslant 2\times \frac 95+1\times \frac 15=\frac {19}5\]

但"="无法取得，否则$\sin\theta=\dfrac 95$产生矛盾。


刚网上搜索了下，发现的确有将第二个条件右边改为$-1$即是$\sin\theta-\cos\theta\leqslant -1$，就能取到"="。

isee

如此这样了，那只好回到线性规划上了，认认真真的画了下图，发现，主楼的结果的确也是$\dfrac {17}5$.


照顾下新手，令$y=\sin \theta ,x=\cos \theta\Rightarrow x^2+y^2=1$，原条件$\left\{\begin{aligned}\sin\theta+2\cos\theta\leqslant 2,\\ \sin \theta -3\cos\theta \leqslant 1.\end{aligned}\right.$可化为
\[\left\{\begin{aligned}y+2x \leqslant 2,\\ y -3x \leqslant 1,\\x^2+y^2=1.\end{aligned}\right.\]

求$z=2y+3x$的最大值。

精确图如下，图中红点即可，取得最大值的时候。

abababa

回复 3# isee

我觉得先用万能公式化简一下好，设$\tan\frac{\theta}{2}=x$。然后$-2\le x\le 0$或$\frac{1}{2}\le x\le 1$，最后的那个就是$f(\theta)=\frac{3+4x-3x^2}{1+x^2}$，这样的话求导为零和端点处的值就是最值，结果是在$x=\frac{1}{2}$处取到最大值$\frac{17}{5}$。

isee

回复 4# abababa


    万能公式都忘记完了。。。。不过，这方法不错，直接将条件化得那么的简。。。

isee

如此这样了，那只好回到线性规划上了，认认真真的画了下图，发现，主楼的结果的确也是$\dfrac {17}5$.


照 ...
isee 发表于 2016-1-19 14:30

如果把三角函数的条件去掉，改成单位圆及内部。

用Geogebra 画阴影，“曲线救国”，终于是把阴影弄出来了。。。用的积分区域。。。晕。。。（注意，此图与主楼无关）