|
|
Last edited by hejoseph 2016-2-9 14:04$\triangle ABC$ 的内切椭圆的中心是 $O$，两焦点分别是 $F_1$、$F_2$，与边 $BC$、$CA$、$AB$的切点分别是 $D$、$E$、$F$，$BC=a$，$CA=b$，$AB=c$，$BD=ty$，$DC=tz$，$CE=uz$，$EA=ux$，$AF=vx$，$FB=vy$，$t$、$u$、$v$、$x$、$y$、$z$ 都是正数，$S_{\triangle ABC}=S$，椭圆长半轴长是 $p$，短半轴长是 $q$，令 $a'=y+z$，$b'=x+z$，$c'=x+y$，以 $a'$、$b'$、$c'$ 为边的三角形面积是 $S'$，
\begin{align*}
\alpha&=a^2\left(-a'^2+b'^2+c'^2\right)+b^2\left(a'^2-b'^2+c'^2\right)+c^2\left(a'^2+b'^2-c'^2\right)，\\
\beta&=a^4b'^2c'^2+a'^2b^4c'^2+a'^2b'^2c^4-a^2b^2c'^2\left(a'^2+b'^2-c'^2\right)-a^2b'^2c^2\left(a'^2-b'^2+c'^2\right)-a'^2b^2c^2\left(-a'^2+b'^2+c'^2\right)，
\end{align*}
则
\begin{align*}
&p=\frac{\sqrt{\alpha+2\sqrt{\beta}}}{2\left(a'+b'+c'\right)}，\\
&q=\frac{8SS'}{\left(a'+b'+c'\right)\sqrt{\alpha+2\sqrt{\beta}}}，\\
&S_{\triangle OBC}:S_{\triangle OCA}:S_{\triangle OAB}=a':b':c'，\\
&\frac{S_{\triangle F_1BC}S_{\triangle F_2BC}}{a^2}=\frac{S_{\triangle F_1CA}S_{\triangle F_2CA}}{b^2}=\frac{S_{\triangle F_1AB}S_{\triangle F_2AB}}{c^2}=\frac{q^2}{4}。
\end{align*} |
|
isee
Posted 2016-1-29 14:16
