三角形内切椭圆的一些结论

hejoseph

$\triangle ABC$ 的内切椭圆的中心是 $O$，两焦点分别是 $F_1$、$F_2$，与边 $BC$、$CA$、$AB$的切点分别是 $D$、$E$、$F$，$BC=a$，$CA=b$，$AB=c$，$BD=ty$，$DC=tz$，$CE=uz$，$EA=ux$，$AF=vx$，$FB=vy$，$t$、$u$、$v$、$x$、$y$、$z$ 都是正数，$S_{\triangle ABC}=S$，椭圆长半轴长是 $p$，短半轴长是 $q$，令 $a'=y+z$，$b'=x+z$，$c'=x+y$，以 $a'$、$b'$、$c'$ 为边的三角形面积是 $S'$，
\begin{align*}
\alpha&=a^2\left(-a'^2+b'^2+c'^2\right)+b^2\left(a'^2-b'^2+c'^2\right)+c^2\left(a'^2+b'^2-c'^2\right)，\\
\beta&=a^4b'^2c'^2+a'^2b^4c'^2+a'^2b'^2c^4-a^2b^2c'^2\left(a'^2+b'^2-c'^2\right)-a^2b'^2c^2\left(a'^2-b'^2+c'^2\right)-a'^2b^2c^2\left(-a'^2+b'^2+c'^2\right)，
\end{align*}
则
\begin{align*}
&p=\frac{\sqrt{\alpha+2\sqrt{\beta}}}{2\left(a'+b'+c'\right)}，\\
&q=\frac{8SS'}{\left(a'+b'+c'\right)\sqrt{\alpha+2\sqrt{\beta}}}，\\
&S_{\triangle OBC}:S_{\triangle OCA}:S_{\triangle OAB}=a':b':c'，\\
&\frac{S_{\triangle F_1BC}S_{\triangle F_2BC}}{a^2}=\frac{S_{\triangle F_1CA}S_{\triangle F_2CA}}{b^2}=\frac{S_{\triangle F_1AB}S_{\triangle F_2AB}}{c^2}=\frac{q^2}{4}。
\end{align*}

hejoseph

三角形的内切椭圆和旁切椭圆.pdf (67.22 KB, Downloads: 7168)

2016-2-6 10:45 Upload

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论证过程

isee

回复 2# hejoseph


    这个内切椭圆是怎么画的？请教。

hejoseph

利用切点的比例还原出 $\triangle A'B'C'$，作出内切圆，然后再用轨迹作出椭圆就可以了，文档中也是用这个方法求那些量的。

isee

利用切点的比例还原出 $\triangle A'B'C'$，作出内切圆，然后再用轨迹作出椭圆就可以了，文档中也是用这个 ...
hejoseph 发表于 2016-1-29 14:13

thx，琢磨琢磨。

hejoseph

三角形内切椭圆.gsp (31.56 KB, Downloads: 4033)

2016-1-29 14:19 Upload

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之前推导做的一个几何画板文件，你看看应该明白的

hejoseph

更新了旁切椭圆的内容

hejoseph

补充一些结论：设置 $\triangle ABC$ 边 $BC$、$CA$、$AB$ 的中点分别是 $D$、$E$、$F$，则 $\triangle ABC$ 的内切椭圆在 $\triangle DEF$ 内；设 $BC$ 的切点是 $T$，点 $T$ 固定，$AT$ 的中点为 $M$，则内切椭圆的中心轨迹是线段 $DM$。
有上面的结论，若给定内切椭圆的中心位置，切点就很容易作图确定了。