2016泰州高三数学期末考试的一道最值试题

aishuxue

若正实数 $x, y$ 满足 $(2 x y-1)^2=(5 y+2)(y-2)$，则 $x+\frac{1}{2 y}$ 的最大值为

游客

\begin{aligned}
& x+\frac{1}{2 y}=\frac{2 x y+1}{2 y}=m \\
& (2 m y-2)^2=(5 y+2)(y-2)
\end{aligned}

kuing

\begin{align*}
x+\frac1{2y}&=\frac{2xy+1}{2y} \\
& \leqslant \frac{2+\sqrt{(5y+2)(y-2)}}{2y} \\
& =\frac1{2y}\left( 2+\frac{\sqrt2-1}2\cdot 2\sqrt{(5y+2)\bigl(3+2\sqrt2\bigr)(y-2)} \right) \\
& \leqslant \frac1{2y}\left( 2+\frac{\sqrt2-1}2\cdot \Bigl(5y+2+\bigl(3+2\sqrt2\bigr)(y-2)\Bigr) \right) \\
& =\frac{3\sqrt2-2}2.
\end{align*}

敬畏数学

待定系数，m满足(1-m)/根号m+2=0,解得根号m=1+根号2.

敬畏数学

回复 2# 游客
此法接下来如何进行？感觉此题只有待定系数用均值不等式吗？

游客

回复 5# 敬畏数学


    用二次方程的判别式。

敬畏数学

此法很简单，提倡此法。最后验证等号取得即可。

isee

\begin{align*}
x+\frac1{2y}&=\frac{2xy+1}{2y} \\
& \leqslant \frac{2+\sqrt{(5y+2)(y-2)}}{2y} \\
&  ...
kuing 发表于 2016-1-27 14:26

还果真是这个结果。。。。。