非典型三角不等式

血狼王

在非钝三角形$ABC$中，求证：
$$\cos^3{A}\cos{B}+\cos^3{B}\cos{C}+\cos^3{C}\cos{A}≤\frac{3\sqrt{3}}{16}.$$
当且仅当$ABC$为“一个角为$30\du$的直角三角形”时等号成立。

kuing

闲来无事，撸个暴力证明……

由非钝角可令 $b^2+c^2-a^2=2x$, $c^2+a^2-b^2=2y$, $a^2+b^2-c^2=2z$, $x$, $y$, $z\geqslant 0$，则 $a=\sqrt{y+z}$, $b=\sqrt{z+x}$, $c=\sqrt{x+y}$，代入余弦定理中即得
\[\cos A=\frac x{\sqrt{(z+x)(x+y)}},\]
故原不等式等价于
\[\sum \left( \frac x{\sqrt{(z+x)(x+y)}} \right)^3\frac y{\sqrt{(x+y)(y+z)}}\leqslant \frac{3\sqrt3}{16},\]
去分母为
\[16\sum x^3y(y+z)\sqrt{3(y+z)(z+x)}\leqslant 9\prod (x+y)^2,\]
由均值有 $2\sqrt{3(y+z)(z+x)}\leqslant x+3y+4z$，故只需证
\[8\sum x^3y(y+z)(x+3y+4z)\leqslant 9\prod (x+y)^2,\]
按 $x$ 整理为
\begin{align*}
&\bigl((9z^2+y^2+10yz)x^2+(-2y^2z+22yz^2-6y^3-6z^3)x
+22y^3z-2yz^3+z^4+9y^4+90y^2z^2\bigr)x^2 \\
&+2xyz(5y^3+11yz^2+5z^3-y^2z)+y^2z^2(y-3z)^2\geqslant 0,
\end{align*}
后两项显然非负，前面括号里的可以计算关于 $x$ 的判别式为
\[\Delta=-8yz(53y^4+228y^3z+550y^2z^2+332yz^3+29z^4)\leqslant 0,\]
所以原不等式成立，当 $x=0$, $y=3z$ 及其轮换时取等，即 $(A,B,C)=(90\du, 30\du, 60\du)$ 及其轮换时取等。

PS、取等不能是 $(A,B,C)=(90\du, 60\du, 30\du)$，因此原题的取等说法不够准确。