来自人教群的正方形边上点与对边直径圆交点再交点在圆上

kuing

鄂爱好者甘雨(2572******) 2016-2-1 11:33:45

@粤A爱好者色k
帮忙看看吧

证明：
我们先证明如下命题：
如下图，点 $P$ 在正方形 $ABCD$ 的 $CD$ 边上，$PA$ 与以 $AB$ 为直径的圆交于 $E$，射线 $DE$ 交圆于 $D_1$，则 $\tan\angle D_1AB=PC/PD$。


延长 $BE$ 交 $AD$ 于 $H$，则 $D$, $H$, $E$, $P$ 四点共圆，故此 $\angle D_1AB=\angle D_1EB=\angle DEH=\angle DPH$，显然 $DP=AH$，故 $DH=PC$，所以 $\tan\angle D_1AB=\tan\angle DPH=DH/PD=PC/PD$，命题得证。

由此，设 $PB$ 与圆交于 $F$，若射线 $CF$ 交圆于 $D_2$，则由上述命题将得到 $\tan\angle D_2BA=PD/PC$，从而 $\tan\angle D_1AB\cdot\tan\angle D_2BA=1$，则 $\angle D_1AB+\angle D_2BA=90\du$，这表明 $D_1$, $D_2$ 重合，所以射线 $DE$ 与射线 $CF$ 的交点必在圆上。

longzaifei

学习了

isee

有点意思，也用同一法。

连接$AF$，则弧$EF$的度数等于$\angle FDC$。





射线$CF$交$\odot O$于$M’$，连接$M'D$，则$CD^2=CB^2=CF \cdot CM'$，这说明$\angle M’=\angle FDC$。

从而弧$EF$的度数等于$\angle M’$，即，$M’D$经过$AP$与圆$O$的交点$E$。

于是$M'$就是$M$。得证。

kuing

回复 3# isee

不错，这个简洁些

isee

回复 4# kuing


    本质上一样

kuing

这个证法辅助线看起来差不多

顺带知道了题目出处，原来都十年前的题了……