来自某教师群的四元代数题 $(ab+cd)/(bc+ad)$

kuing

东莞李晴晴(2823******) 11:56:28

高手请帮忙秒题

话说，我求出它是个定值，最个啥值？

将条件两等式相减易得
\[a^2-c^2=d^2-b^2=\frac{28}{53}(bc+ad),\]
注意到恒等式
\[(ab+cd)^2=(a^2-c^2)(b^2-d^2)+(bc+ad)^2,\]
故此
\[\frac{ab+cd}{bc+ad}=\frac{\sqrt{-\left( \frac{28}{53}(bc+ad) \right)^2+(bc+ad)^2}}{bc+ad}=\frac{45}{53}.\]

PS、假如不限制正数，改为实数范围，则所求式为 $\pm45/53$，也就两个值，此时说求最值还说得过去。

游客

根据勾股定理，四点共圆，算四边形的面积。

isee

1与2楼 珠联璧合，相得益彰

kuing

回复 2# 游客

very nice!!!