PA+QB为定值，求线段PQ中点M的轨迹

lrh2006

已知A,B分别为异面直线a,b上的点，且直线AB与a.b均垂直，动点P在a上，Q在b上，PA+QB为定值，则线段PQ中点M的轨迹是（ ），请指点迷津，谢谢！ps:答案是平行四边形

kuing

先将立几问题转化为平几问题：
由于 $M$ 是 $PQ$ 中点，则 $M$ 恒在一个平面上，该平面与 $AB$ 垂直，且到两异面直线的距离相等。
现在，我们将图形都垂直投影到这个平面上，则问题就转化为：
平面上直线 $l_1$ 与 $l_2$ 交于 $O$，点 $C$, $D$ 分别在 $l_1$, $l_2$ 上且 $OC+OD$ 为定值，求 $CD$ 的中点 $M$ 的轨迹。

如图，设 $OC+OD=2a$ 为定值，在射线 $OC$, $OD$ 上分别取 $OE=OF=a$，则易知 $CE=DF$，设 $CD$ 与 $EF$ 交于 $G$，则由梅氏定理有
\[\frac{CG}{GD}\cdot\frac{DF}{FO}\cdot\frac{OE}{EC}=1 \riff CG=GD,\]
可见这里的 $G$ 实际上就是中点 $M$，这说明 $M$ 恒在线段 $EF$ 上，其余情况一样，由此易得 $M$ 的轨迹为平行四边形。

lrh2006

回复 2# kuing

报告K神，有几处不明白的地方：
1、只有高中水平，不晓得梅氏定理，可否绕过这个定理
2、为什么取了OE=OF=a,就易知CE=DF
3、G就是中点M，为什么说明M恒在线段EF上？以及其他情况一样是什么意思，又如何易得M的轨迹为平行四边形
求解释，智商不够，别笑我

kuing

1、可以绕过梅氏，过 $D$ 作 $l_1$ 平行线交 $EF$ 于 $H$，则 $DH=DF=CE$，从而 $GC=GD$。
2、自己想。
3、前半自己想，后半意思是说，当 $CD$ 在其他区域的时候也可类似地作线证明，四个区域总共四条线段，构成平行四边形（其实更加是矩形）。

lrh2006

刚才自己重新画了图，貌似有点理解了。。。好吧，我自己想，再想一想，我觉得智商不够用了，哈哈，谢谢啦

乌贼

如图，$EF$为定直线,平面$QPCD$恒过定直线$EF$，梯形$QPCD$中，$EF$交$PQ$于中点$M$，即$QP$中点$M$恒在定直线$EF$上。……