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广州黄开鹏(1649*****) 15:38:58
kk帮忙看看这个不等式？有没有方法
我一点头绪都没有
广州黄开鹏(1649*****) 15:56:35
帮别人问的
为方便书写，以下的求和符号如果没有上下标则表示 $i$ 由 $1$ 到 $n$ 求和。
由CS得
\begin{align*}
& \sum \frac{(a_{i+1}+b_{i+1})^2}{n(a_i-b_i)^2+4(n-1)\sum a_ib_i} \\
={}&\sum \frac{(a_{i+1}+b_{i+1})^4}{(a_{i+1}+b_{i+1})^2\bigl( n(a_i-b_i)^2+4(n-1)\sum a_ib_i \bigr)} \\
\geqslant{}& \frac{\left( \sum (a_{i+1}+b_{i+1})^2 \right)^2}{n\sum (a_{i+1}+b_{i+1})^2(a_i-b_i)^2+4(n-1)\sum a_ib_i\sum (a_{i+1}+b_{i+1})^2} \\
={}&\frac{\left( \sum (a_i+b_i)^2 \right)^2}{n\sum (a_{i+1}+b_{i+1})^2(a_i-b_i)^2+4(n-1)\sum a_ib_i\sum (a_i+b_i)^2},
\end{align*}
故只需证
\[(n-1)\left( \sum (a_i+b_i)^2 \right)^2\geqslant n\sum (a_{i+1}+b_{i+1})^2(a_i-b_i)^2+4(n-1)\sum a_ib_i\sum (a_i+b_i)^2,\]
即
\[(n-1)\sum (a_i+b_i)^2\sum (a_i-b_i)^2\geqslant n\sum (a_{i+1}+b_{i+1})^2(a_i-b_i)^2,\]
由条件得 $\sum (a_i-b_i)=0$，则由CS得
\[(a_i-b_i)^2=\Biggl( \sum_{\substack{k\ne i\\1\leqslant k\leqslant n}}(a_k-b_k) \Biggr)^2\leqslant (n-1)\sum_{\substack{k\ne i\\1\leqslant k\leqslant n}}(a_k-b_k)^2,\]
两边加上 $(n-1)(a_i-b_i)^2$ 即得
\[n(a_i-b_i)^2\leqslant (n-1)\sum (a_i-b_i)^2,\]
所以
\begin{align*}
n\sum (a_{i+1}+b_{i+1})^2(a_i-b_i)^2&\leqslant (n-1)\sum (a_{i+1}+b_{i+1})^2\sum (a_i-b_i)^2 \\
&=(n-1)\sum (a_i+b_i)^2\sum (a_i-b_i)^2,
\end{align*}
故原不等式得证。 |
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