来自某教师群昨晚的四元有问题不等式加条件再玩

kuing

话说昨晚：

广州邓*发(7316*****) 23:19:55

广州郭*伟(kuing)(249533164) 1:56:45
我那个擦，搞了半天，才发现这题存在反例：
取 a=b=c=1, d=r^4，则左边为 (r^4+7)/2，当 r -> 0，左边将趋向 3.5，而右边趋向 4，不等式不成立……
@广州邓*发 有没有缺什么条件？题目哪来的？
广州邓*发(7316*****) 9:10:07
@广州郭*伟(kuing) ，不好意思啦，昨天那个问题是一个老师发给我的，没有想到居然是个悲剧题，我擦，以后做题必须要问清来源了，不然浪费时间。。。。。。

那么，为了不让草稿白打，下面我擅自加设条件：`\boxed{r\geqslant1}`，此时不等式是成立的。至于还能不能再小些，暂时还不能确定。

由 `abcd=r^4` 可令
\[a=\frac yxr,b=\frac zyr,c=\frac wzr,d=\frac xwr,\]其中 `x`, `y`, `z`, `w>0`，则由柯西有
\begin{align*}
\sum \frac{ab+1}{a+1}&=\sum \frac{zr^2+x}{yr+x} \\
&=\sum \frac{(zr^2+x)^2}{(zr^2+x)(yr+x)} \\
&\geqslant \frac{\bigl(\sum (zr^2+x)\bigr)^2}{\sum (zr^2+x)(yr+x)} \\
&=\frac{(x+y+z+w)^2(r^2+1)^2} {(x+z)(y+w)(r^3+r)+2(xz+yw)r^2+x^2+y^2+z^2+w^2},
\end{align*}故只需证
\[(x+y+z+w)^2(r^2+1)(r+1) \geqslant 4(x+z)(y+w)(r^3+r)+8(xz+yw)r^2+4(x^2+y^2+z^2+w^2), \]由 `r\geqslant 1` 可令 `r=1+t`, `t\geqslant 0`，代入上式展开为
\begin{align*}
&(x+y+z+w)^2(t^3+4t^2+6t+4) \\
\geqslant {} & 4(x+z)(y+w)(t^3+3t^2+4t+2) + 8(xz+yw)(t^2+2t+1) + 4(x^2+y^2+z^2+w^2),
\end{align*}将上式按 `t` 整理为
\[m_1t^3+m_2t^2+m_3t+m_4\geqslant 0,\]其中
\begin{align*}
m_1&=(x+y+z+w)^2-4(x+z)(y+w)=(x-y+z-w)^2\geqslant 0, \\
m_2&=4(x+y+z+w)^2-12(x+z)(y+w)-8(xz+yw) \\
&=2\bigl((x-y)^2+(y-z)^2+(z-w)^2+(w-x)^2\bigr)\geqslant 0, \\
m_3&=6(x+y+z+w)^2-16(x+z)(y+w)-16(xz+yw) \\
&=2\bigl((x-y)^2+(y-z)^2+(z-w)^2+(w-x)^2+(x-z)^2+(y-w)^2\bigr)\geqslant 0, \\
m_4&=4(x+y+z+w)^2-8(x+z)(y+w)-8(xz+yw)-4(x^2+y^2+z^2+w^2)=0,
\end{align*}所以当 `r\geqslant 1` 时原不等式成立。