$x^2 \le 4-\abs{2x-m}$成立，则实数$m$的取值范围是

abababa

若至少存在一个$x(x \ge 0)$，使得关于$x$的不等式$x^2 \le 4-\abs{2x-m}$成立，则实数$m$的取值范围是

这题用图象法很简单，$m \in [-4,5]$。如果不借助图象，应该怎么解这种类型的题？

敬畏数学

利用绝对值不等式的解法，轻松解决哦。

游客

（1）$x^2 \leq 4-|2 x-m|$ 恒成立，即：$x^2+|2 x-m|-4 \leq 0$ 恒成立。即：$x^2+2 x-m-4 \leq 0$ 和 $x^2-2 x+m-4 \leq 0$ 均恒成立。
（2）存在的反面是不存在，也是恒成立问题。
（3）既然是函数与不等式，为什么不喜欢图象？
处理好“或”还是“且”，MAX 还是 MIN ，就不会烦恼了。

abababa

回复 2# 敬畏数学

请写一下具体的过程可以吗？如果不用图象，我对这类题完全没什么思路。

abababa

回复 3# 游客

这不是恒成立吧，而是至少有一个解，就像$x^2 \le 0$不恒成立，但至少有一个解。这题里的$x$也有范围，是$x \ge 0$。就这题来说，用图象法来解我已经会了，想学习一下其它的解法。

游客

不好意思，原来问题看错，以为总共有两问题：前面一个恒成立，后面一个是存在。
＂存在 $x \geq 0$ ，使得 $x^2 \leq 4-|2 x-m|$ 成立＂的反面是： ＂对任意 $x \geq 0, ~ x^2>4-|2 x-m|$ 恒成立＂，
即：＂对任意 $x \geq 0, x^2+|2 x-m|-4>0$ 恒成立＂．
令 $f(x)=x^2+2 x-m-4, g(x)=x^2-2 x+m-4$ ，则：
当 $x>2$ 时，$f(x)+g(x)=2 x^2-8>0$ ．
若 $f(0)>0$ ，则 $m<-4$ ，此时 $f(x)>0$ 对 $x \geq 0$ 恒成立。
若 $g(0)>0$ ，则 $m>4$ ，此时 $f(x)<0$ 对 $0 \leq x \leq 2$ 恒成立。
若 $g(x)>0$ 对 $0 \leq x \leq 2$ 恒成立，则 $m>5$ 。
综上，原问题的反面为 $m<-4$ 或 $m>5$ ．
所以，原问题的正面为：$-4 \leq m \leq 5$ ．

abababa

回复 6# 游客

谢谢，我再理解理解。得到$x^2+\abs{2x-m}-4>0$这步我也想到了，后面的分类还是挺多的。

敬畏数学

回复 6# 游客
不用这么复杂吧。