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kuing
Post time 2016-2-23 17:58
既然逃不了计算，那干脆就给个一般情况吧。
设椭圆为 $x^2/a^2+y^2/b^2=1$, $a$, $b>0$，点 $A(-a,0)$, $B(ta,y)$，其中 $t\in (-1,1)$, $y>0$，则 $y=b\sqrt{1-t^2}$，待定正数 $p$, $q$，则由均值有
\begin{align*}
l&=2\sqrt{(ta+a)^2+y^2}+2y \\
&=2\sqrt{(1+t)^2a^2+b^2(1-t^2)}+2b\sqrt{1-t^2} \\
&=2\sqrt{(1+t)\bigl(a^2+b^2+(a^2-b^2)t\bigr)}+2b\sqrt{(1+t)(1-t)} \\
&\leqslant p(1+t)+\frac{a^2+b^2+(a^2-b^2)t}p+q(1+t)+\frac{b^2(1-t)}q \\
&=2b^2\left( \frac1p+\frac1q \right)
+\left(p+q+\frac{a^2-b^2}p-\frac{b^2}q\right)(t+1),
\end{align*}
那么自然需要令
\begin{align*}
\led
& p+q+\frac{a^2-b^2}p-\frac{b^2}q=0, \\
& a^2+b^2+(a^2-b^2)t=p^2(1+t), \\
& b^2(1-t)=q^2(1+t)
\endled
&\riff \led
& p+\frac{a^2-b^2}p=\frac{b^2}q-q, \\
& t=\frac{a^2+b^2-p^2}{p^2-a^2+b^2}=\frac{b^2-q^2}{q^2+b^2}
\endled \\
&\riff \led
& p^2+\frac{(a^2-b^2)^2}{p^2}+2(a^2-b^2)=\frac{b^4}{q^2}+q^2-2b^2, \\
& t+1=\frac{2b^2}{p^2-a^2+b^2}=\frac{2b^2}{q^2+b^2}
\endled \\
&\riff \led
& p^2+\frac{(a^2-b^2)^2}{p^2}+2a^2=\frac{b^4}{q^2}+q^2, \\
& p^2-a^2=q^2
\endled \\
&\riff \frac{(a^2-b^2)^2}{p^2}+3a^2=\frac{b^4}{p^2-a^2},
\end{align*}
解之并舍去负根得
\[
p^2=\frac{a^2+b^2+2\sqrt{a^4-a^2b^2+b^4}}3
=\frac{(a^2-b^2)^2}{2\sqrt{a^4-a^2b^2+b^4}-a^2-b^2},
\]
从而
\[
q^2=\frac{-2a^2+b^2+2\sqrt{a^4-a^2b^2+b^4}}3
=\frac{b^4}{2\sqrt{a^4-a^2b^2+b^4}+2a^2-b^2},
\]
经检验，上述 $p$, $q$ 确实满足方程组中的第一个方程，故此代回前面即得
\[l\leqslant 2b^2\left( \frac{\sqrt{2\sqrt{a^4-a^2b^2+b^4}-a^2-b^2}}{\abs{a^2-b^2}}
+\frac{\sqrt{2\sqrt{a^4-a^2b^2+b^4}+2a^2-b^2}}{b^2} \right),\]
再将 $p$ 或 $q$ 代回方程组中可得
\[t=\frac{a^2}{b^2+\sqrt{a^4-a^2b^2+b^4}},\]
容易验证它一定是 $(0,1)$ 内的值，所以这就是取等条件。
对于原题的数据，当 $a^2=3$, $b^2=8$ 时 $a^4-a^2b^2+b^4=49$ 正好是完全平方数，因此结果就简单多了，可见原题的数据并不是随便给的。 |
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敬畏数学
Post time 2016-2-18 09:25
