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广州邓朝发(7316*****) 23:14:17
最右边的平方都差点看不到了，重新输入一下吧：
题目：设 $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$ 是不相等的正整数，证明
\[a_1^7+a_2^7+\cdots+a_n^7+a_1^5+a_2^5+\cdots+a_n^5\geqslant2(a_1^3+a_2^3+\cdots+a_n^3)^2.\]
由对称性，不妨设 $a_1<a_2<\cdots <a_n$，我们有
\begin{align*}
\sum_{k=1}^n a_k^7+\sum_{k=1}^n a_k^5\geqslant 2\left( \sum_{k=1}^n a_k^3 \right)^2
& \iff\sum_{k=1}^n (a_k^7+a_k^5+2a_k^6)\geqslant 2\left( \sum_{k=1}^n a_k^3 \right)^2+2\sum_{k=1}^n a_k^6 \\
& \iff\sum_{i=1}^n a_k^5(a_k+1)^2\geqslant 4\sum_{k=1}^n a_k^3(a_1^3+a_2^3+\cdots +a_k^3),
\end{align*}
由条件及所设，有 $a_{k-1}\leqslant a_k-1$, $a_{k-2}\leqslant a_k-2$, $\ldots$, $a_1\leqslant a_k-(k-1)$，于是
\begin{align*}
a_1^3+a_2^3+\cdots +a_k^3 &\leqslant \sum_{m=0}^{k-1}(a_k-m)^3 \\
&=\frac14(2ka_k-k^2+k)(2a_k^2+2a_k-2ka_k+k^2-k) \\
&\leqslant \frac1{16}(2ka_k-k^2+k+2a_k^2+2a_k-2ka_k+k^2-k)^2 \\
&=\frac14a_k^2(a_k+1)^2,
\end{align*}
所以原不等式得证。
灵感主要在于第二行的整理方式，而意外的是后面求和之后竟然刚好可以均值，真有趣。 |
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