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$(1)$
若$a,b,c$为非负实数，求证
$$a^4+b^4+c^4+1\geq a^2b+b^2c+c^2a+abc.$$
$(2)$
若$a,b,c$在$[0,1]$内，且$abc=\frac{1}{8}$，求证
$$-\frac{415}{64}\leq a^2+b^2+c^2-4(a+b+c)\leq -\frac{21}{4}.$$
$(3)$
若$a,b,c$为非负实数，且$ab+bc+ca=3$，求证
$$\frac{a}{2+b^3}+\frac{b}{2+c^3}+\frac{c}{2+a^3}\geq 1.$$ |
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