最近发现的不等式

血狼王

若$a,b,c$为非负实数且$a+b+c=1.$
求证
$$\sqrt{a+(1-\frac{\sqrt{3}}{2})(b-c)^2}+\sqrt{b+(1-\frac{\sqrt{3}}{2})(c-a)^2}+\sqrt{c+(1-\frac{\sqrt{3}}{2})(a-b)^2}\leq \sqrt{3}.$$

血狼王

一看可知，这是
$$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\leq \sqrt{3}$$
的加强。

血狼王

若$a,b,c$为非负实数且$a+b+c=1$，
求证
$$\sqrt{a^3+\frac{3-\sqrt{5}}{2}b}+\sqrt{b^3+\frac{3-\sqrt{5}}{2}c}+\sqrt{c^3+\frac{3-\sqrt{5}}{2}a}\geq \frac{1+\sqrt{5}}{2}\sqrt{a^2+b^2+c^2}$$。

血狼王

若$a,b,c$为非负实数且$a+b+c=2$，
求证
$$a\sqrt{1-bc}+b\sqrt{1-ca}+c\sqrt{1-ab}\geq 2\sqrt{1-2abc}$$。

血狼王

若$a,b,c$为非负实数且$a+b+c=1.$
求证
$$\sqrt{15a^3+1}+\sqrt{15b^3+1}+\sqrt{15c^3+1}\geq 6\sqrt{a^2+b^2+c^2}.$$
另：
CLB兄对上式的加强：
$$\sqrt{15a^3+1}+\sqrt{15b^3+1}+\sqrt{15c^3+1}\geq 3\sqrt{4(a^2+b^2+c^2)+6abc}.$$

血狼王

若$a,b,c$为非负实数且$abc=1,$
求证：
$$\frac{a}{1+b^7}+\frac{b}{1+c^7}+\frac{c}{1+a^7}\geq \frac{3}{2}.$$

血狼王

有木有人咧

血狼王

若$a,b,c$为非负实数。
求证
$$\frac{1}{7}\leq \frac{a}{2a+5\sqrt{a^2+3ab}}+\frac{b}{2b+5\sqrt{b^2+3bc}}+\frac{c}{2c+5\sqrt{c^2+3ca}}\leq \frac{2}{7}。$$