函数极值点问题 d(xf(x))/dx=lnx

敬畏数学

f(x)满足d(xf(x))/dx=lnx,且$f(1)=0$，求$f(x)$：（C）
A、有极大值，有极小值
B、有极大值，无极小值
C、无极大值，有极小值
D、无极大值，无极小值

色k

直接积分就可以求f(x)了啊

敬畏数学

回复 4# 色k
右边的积分怎么玩？不要太高级啊，

kuing

要高中生看得懂的是吗？
那也好办，因为 $(x\ln x)'=\ln x+1$，即 $\ln x=(x\ln x)'-1$，所以  $\int \ln x\rmd x=\int (x\ln x)'\rmd x-\int1\rmd x=x\ln x-x+C$。

血狼王

说白了
$$xf(x)=x\ln{x}-x+1;$$
（由初值$f(1)=0$可得$C=1$)
$$f(x)=\ln{x}-1+\frac{1}{x}.$$
所以
$$f'(x)=\frac{x-1}{x^2}.$$
1为分野，左边降右边升，只有极小值没有极大值。
$------------$
思路如上

敬畏数学

算是一种方法。但有没有更稍微更那么点的吗？

游客

\begin{aligned}
& x f(x) \text { 的导函数是 } \ln x . \text { 即: } f(x)+x f^{\prime}(x)=\ln x . \\
& \Rightarrow x f(x)+x^2 f^{\prime}(x)=x \ln x \Rightarrow x^2 f^{\prime}(x)=x \ln x-x f(x) 。 \\
& \text { 两边再求导, 得: } \\
& x^2 f^{\prime}(x) \text { 的导函数为 } \ln x+1-\ln x=1 \text { 。 } \\
& \Rightarrow x^2 f^{\prime}(x)=x+C \Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{x+C}{x^2} . \\
& (C=-1 \text { 不难求, 这样只要知道常数的积分就可以了. })
\end{aligned}

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回复 9# 游客
牛!!!!!终于懂了。如果再变，此题会令人头痛啊！望高手支招!!

isee

直接积分就可以求f(x)了啊
色k 发表于 2016-3-23 12:43

擦，2016年深圳二模，选择题的第后一题，就是积分……完全相同的套路

敬畏数学

d(f(x)/x)/dx=lnx/x,
不用高档的积分，继续。
原式两边同除以x，并再次求导，
d（d（f（x）/dx）/dx=lnx/x+1/x=（lnx+1）/x，
x∈（0,1/e）时，d（f（x）/dx为减函数
x∈（1/e,+∞）时，d（f（x）/dx>0为增函数

且当x=1/e时，d（f（x））/dx=0
所以x∈（0，+∞）时，d（f（x）)/dx>=0,因而，f（x）在D上无极值！答案为D。

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回复 9# 游客
跟你的思路相近！